Question

Sendo a e b dois números reais, com a2 + b2 = 85 e ab = 42, qual é o valor numérico de (a + b)

Answer 1

a² + b² ≠ (a + b) ²

Exemplo: a = 2    e b = 4

a² + b² = 2² + 4² = 4 + 16 = 20

(a + b) ² = (2 + 4 ) ² = 6² = 36

20 ≠ 36

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Então nos resta resolver pelo sistema de equação, método da substituição:

$\left \{ {{a^2 + b^2 =85} \atop{ab=42}} \right.$

ab = 42

a = $\frac{42}{b}$

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Substituindo a na primeira equação:

$\frac{42^2}{b^2}$ + b² = 85

$\frac{42^2}{b^2} + b^{2} = 85$

$\frac{1764}{b^2} + b^{2} = 85$

1764 + b⁴ = 85b²

b⁴ - 85 b² + 1764 = 0⇒ equação biquadrada

b² = x

b² - 85x + 1764 = 0

Δ = (-85)² - 4. 1. 1764

Δ = 7 225 - 7 056

Δ = 169

x' = $\frac{85 + \sqrt{169} }{2}$

x' = 49

x'' = $\frac{85 - \sqrt{169} }{2}$

x'' = 36

Se b² = x :

b² = 49 ∴ b = ⁺/⁻√49 ∴ b = ⁺/₋ 7

e

b² = 36 ∴ b = ⁺/₋ √36 ∴ b = ⁺/₋ 6

Achando a:

a² + b² = 85

a² + 6² = 85 ∴ a² + 36 = 85 ∴ a² = 85 - 36 ∴ a² = 49 ∴ a = ⁺/₋ 7

Lembrando que para o valor (-6) vai dar o mesmo resultado pois (-6)² = 36

e

a² + b² = 85 ∴ a² + 7² = 85 ∴ a² + 49 = 85 ∴ a² = 85 - 49 ∴ a² = 36 ∴ a =√36

a = ⁺/₋ 6

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Quando os valores de a e b forem (os dois) positivos ou negativos teremos a soma dos módulos :

a = 7 e b = 6  , a + b = 7 + 6 = 13∴ a + b = 13

Quando a = 7 e b = 6 , a + b = 7 + 6 = 13 ∴ a + b = 13

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Quando a = -6 e b = -7 , teremos a + b = -6 -7 = -13 ∴ a + b = - 13

Quando a = -7 e b = -6, teremos a + b = -7 - 6 = -13 ∴ donde a + b = -13

Resposta : a + b = 13  ou a + b = - 13