Question

Sendo “a” e “b” arcos do primeiro quadrante tais que sen(a)= 1/5 e cos(b)= 3/5 determine o valor de sem (a+b). por favor me ajudem <3

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\sin(a+b)=\dfrac{3+8\sqrt{6}}{25}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Sabemos que os arcos estão no primeiro quadrante, e que $\sin (a)=\dfrac{1}{5}$ e $\cos(b)=\dfrac{3}{5}$.

Para determinarmos o valor de $\sin(a+b)$, devemos lembrar qual é a fórmula da soma de arcos.

$\sin(a+b)=\sin(a)\cdot\cos(b)+\sin(b)\cdot\cos(a)$

Então, como podemos perceber, necessitamos encontrar ainda alguns valores, tais quais o $\sin(b)$ e o $\cos(a)$.

Para isso, devemos utilizar a fórmula

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$

Para o $\cos(a),$ fazemos

$\sin^2(a)+\cos^2(a)=1$

Substituímos o valor de $\sin(a)$

$\left(\dfrac{1}{5}\right)^2+\cos^2(a)=1$

Calcule a potência

$\dfrac{1}{25}+\cos^2(a)=1$

Subtraia $\dfrac{1}{25}$ de ambos os lados

$\cos^2(a)=1-\dfrac{1}{25}$

Calcule a soma de frações

$cos^2(a)=\dfrac{24}{25}$

Retire a raiz quadrada de ambos os lados da equação

$\cos(a)=\pm\sqrt{\dfrac{24}{25}}$

Simplifique a raiz

$\cos(a)=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$

Como nos foi garantido no enunciado que o arco "a" pertence ao primeiro quadrante, utilizamos somente a solução positiva.

$\cos(a)=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$

Agora, calcularemos o $\sin(b)$, da mesma forma

$\sin^2(b)+\cos^2(b)=1$

Substitua o valor de $\cos(b)$

$\sin^2(b)+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1$

Calcule a potência

$\sin^2(b)+\dfrac{9}{25}=1$

Subtraia $\dfrac{9}{25}$ de ambos os lados

$\sin^2(b)=1-\dfrac{9}{25}$

Calcule a soma de frações

$\sin^2(b)=\dfrac{16}{25}$

Retire a raiz quadrada de ambos os lados da equação

$\sin(b)=\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}$

Simplifique a raiz

$\sin(b)=\pm\dfrac{4}{5}$

Da mesma forma, como o enunciado garante que o arco "b" pertence ao primeiro quadrante, utilizamos somente a solução positiva.

$\sin(b)=\dfrac{4}{5}$

Agora podemos substituir todos os valores na expressão que desejamos calcular

$\sin(a+b)=\sin(a)\cdot\cos(b)+\sin(b)\cdot\cos(a)\\\\\\\sin(a+b) = \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$

Calcule a multiplicação de frações

$\sin(a+b)=\dfrac{3}{25}+\dfrac{8\sqrt{6}}{25}$

Calcule a soma de frações

$\sin(a+b)=\dfrac{3+8\sqrt{6}}{25}$.