Question

Sendo a,b e c lados de um triângulo retângulo e a um dos seus ângulos agudos. calcule o valor de:
(sen a)²+(cos a)²

Answer 1

Temos nesse caso, o teorema fundamental da trigonometria
sen²a + cos²a = 1

Answer 2

Sendo a e b os catetos do triangulo e c sua hipotenusa :

Lei dos senos : c/senc = b/senb = a/sena 

Aplicando : c/sen90 = a/sena ==> c/1 = c = a/sena

Elevando ao quadrado : 

c^2 = (a/sena)^2
c^2 = a^2 / sen^2a

Pelo teorema de pitagoras : c^2 = a^2+b^2 . Substituindo :

a^2+b^2 = a^2/sen^2a 
b^2 = a^2/sen^2a - a^2
b^2 = a^2.(1/sen^2a - 1)

*b^2/a^2 = (1-sen^2a)/sen^2a (1)

Como a/sena = b/senb ==> a.senb = b.sena ==> b/a = senb/sena 

Elevando ao quadrado : b^2/a^2 = sen^2b/sen^2a (2)

Igualando (1) e (2) :

(1-sen^2a)/sen^2a = sen^2b/sen^2a 

1-sen^2a = sen^2b 

*sen^2a + sen^2b = 1 (3)

**senb = cateto oposto /hipotenusa = b/c 

**cosa = cateto adjacente /hiotenusa = b/c 

Logo , senb = cosa . Substituindo em (3) : 

sen^2a + (cosa)^2 = 1

sen^2a + cos^2a = 1