Question

Sendo ||a||= 4, ||b|| =5 e a e b ortogonais, determine 0 = ângulo (u, v), sabendo que u =3a+2b e v=2a-3b

Answer 1

Utilizand odefinição de angulo entre vetores, temos que o angulo entre eles é de aproximadamente 78,4º

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos encontrar o modulo dos vetores u e v:

$u.u=|u|^2=(3a+2b)(3a+2b)=9a.a+4b.b+6a.b+6a.b$

$|u|^2=9(4)^2+4(5)^2+6.0+6.0$

$|u|^2=9.16+4.25$

$|u|^2=144+100$

$|u|^2=244$

$|u|=\sqrt{244}$

Produto de a.b é 0, pois eles são ortogonais e os produtos deles com eles mesmos são seus modulso ao quadrado.

$v.v=|v|^2=(2a-3b)(2a-3b)=4a.a+9b.b-6a.b-6a.b$

$|v|^2=4(4)^2+9(5)^26-.0-6.0$

$|v|^2=4.16+9.25$

$|v|^2=64+225$

$|v|^2=289$

$|v|=\sqrt{289}$

E agora vamos encontrar o produto de u com v:

$u.v=(3a+2b)(2a-3b)=6a.a-6b.b+6a.b-6a.b$

$u.v=6a.a-6b.b$

$u.v=6(4)^2-6(5)^2$

$u.v=6.16-6.25$

$u.v=96-150$

$u.v=-54$

Tendo estas informações podemos utilizar a formula do cosseno entre vetores:

$cos(\theta)=\frac{u.v}{|u|.|v|}$

$cos(\theta)=\frac{54}{\sqrt{244}.\sqrt{289}}$

$cos(\theta)=0,203$

E usando o arco cosseno temos que este angulo é de:

$\theta=78,4$

Assim temos que o angulo entre eles é de aproximadamente 78,4º