Question

Sendo A(3,1) B(4-4) e C(-2,2) vértices de um triângulo, mostre que esse triângulo é isósceles

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para mostrar que é isósceles o triângulo cujos vértices estão nos pontos A(3; 1), B(4; -4) e C(-2; 2).
Veja: para mostrar que o triângulo é isósceles, temos que demonstrar que esse triângulo terá dois lados iguais.
Aí você poderá perguntar: e como calcularemos as medidas de cada lado?
Resposta: simples. Basta que encontremos a distância (d) entre os pontos A e B (quando encontraremos a medida do segmento AB); entre os pontos A e C (quando encontraremos a medida do segmento AC); e, finalmente, entre os pontos B e C (quando encontraremos a medida do segmento BC).
Assim, teremos:

i) Encontrando a distância (d) entre os pontos A(3; 1) e B(4; -4). Assim:

d² = (4-3)² + (-4-1)²
d² = (1)² + (-5)²
d² = 1 + 25
d² = 26
d = +-√(26) ----- mas como a medida de um lado nunca é negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

d = √(26) u.m. <--- Esta é a medida do lado AB. (Obs: u.m. = unidades de medida).

ii) Encontrando a distância (d) entre os pontos A(3; 1) e C(-2; 2).

d² = (-2-3)² + (2-1)²
d² = (-5)² + (1)²
d² = 25 + 1
d² = 26
d = +-√(26) ---- ou, tomando-se apenas a raiz positiva, temos:
d = √(26) u.m. <--- Esta é a medida do lado AC.

iii) Encontrando a distância (d) entre os lados B(4; -4) e C(-2; 2).

d² = (-2-4)² + (-2-(-4))²
d² = (-6)² + (-2+4)²
d² = (-6)² + (2)²
d² = 36 + 4
d² = 40
d = +-√(40) ----- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos:
d = √(40) ---- como 40 = 2³.5 = 2².2.5 = 2².10, teremos:
d = √(2².10) ---- veja que o "2", por estar ao quadrado, sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

d = 2√(10) u.m. <--- Esta é a medida do lado BC.

iv) Assim, como você viu, conseguimos demonstrar que o triângulo da sua questão é, realmente, isósceles, pois tem dois lados iguais e medindo:
√(26) u.m. cada um, que são os lados AB e AC.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.