Question

Sendo A(2,-5,3) e B(7,3,-1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4,-3,3) o ponto de interseção das diagonais, determine os vértices C e D

Answer 1

Observe a figura em anexo.


Vamos encontrar os vetores $\overset{\to}{AM}$ e $\overset{\to}{BM}:$

$\bullet\;\;\overset{\to}{AM}=M-A\\ \\ \overset{\to}{AM}=(4;\,-3;\,3)-(2;\,-5;\,3)\\ \\ \overset{\to}{AM}=(4-2;\,-3+5;\,3-3)\\ \\ \overset{\to}{AM}=(2;\,2;\,0)\\ \\ \\ \bullet\;\;\overset{\to}{BM}=M-B\\ \\ \overset{\to}{BM}=(4;\,-3;\,3)-(7;\,3;\,-1)\\ \\ \overset{\to}{BM}=(4-7;\,-3-3;\,3+1)\\ \\ \overset{\to}{BM}=(-3;\,-6;\,4)$


O ponto $C$ é igual ao ponto $A$ somado com o dobro do vetor $\overset{\to}{AM}:$

$C=A+2\cdot \overset{\to}{AM}\\ \\ C=(2;\,-5;\,3)+2\cdot (2;\,2;\,0)\\ \\ C=(2;\,-5;\,3)+(4;\,4;\,0)\\ \\ C=(2+4;\,-5+4;\,3+0)\\ \\ C=(6;\,-1;\,3)$


O ponto $D$ é igual ao ponto $B$ somado com o dobro do vetor $\overset{\to}{BM}:$

$D=B+2\cdot \overset{\to}{BM}\\ \\ D=(7;\,3;\,-1)+2\cdot (-3;\,-6;\,4)\\ \\ D=(7;\,3;\,-1)+(-6;\,-12;\,8)\\ \\ D=(7-6;\,3-12;\,-1+8)\\ \\ D=(1;\,-9;\,7)$