Question

sendo A= (2/-1/4/3) e B= ( -2/-9) encontre uma matriz X tal que A.X=B​

Answer 1

Começamos por recordar que para uma matriz genérica $2 \times 2$ dada por:

$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},$

a matriz inversa dada por é:

$M^{-1} = \dfrac{1}{\det M}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix},$ onde $\det M = ad - bc \neq 0$.

Neste caso, temos as matrizes:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \quad\textrm{e}\quad B = \begin{pmatrix} -2 \\ -9 \end{pmatrix}.$

Começamos por notar que:

$\det A = \det \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \times 3 - 4 \times (-1) = 6 + 4 = 10 \neq 0,$

pelo que a matriz $A$ é invertível. Podemos agora calcular $A^{-1}$ aplicando a fórmula acima:

$A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$

Assim, podemos escrever:

$AX = B \iff X = A^{-1}B.$

Resta agora fazer o produto das matrizes:

$X = A^{-1}B = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ -9 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} -2 \times 3 + (-9) \times (-4) \\ -2 \times 1 - 9 \times 2 \end{pmatrix} =\\\\= \dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 36-6 \\ -18-2 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 30 \\ -20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}.$

Resposta: $\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}}.$