Question

Sendo A=
-1-2
2 3
determine a matriz A.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A^{-1}=\begin{bmatrix}3&2\\-2&-1\\\end{bmatrix}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para invertermos esta matriz de ordem 2, utilizaremos um método mais conhecido.

Sabemos que para inverter uma matriz nestas condições com elementos genéricos como $B=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\\\end{bmatrix}$ , devemos calcular seu determinante e multiplicar o inverso e oposto deste valor pela matriz de forma $\begin{bmatrix}-d&b\\c&-a\\\end{bmatrix}$.

Ou seja, dizemos que $B^{-1}=-\dfrac{1}{\det B}\cdot\begin{bmatrix}-d&b\\c&-a\\\end{bmatrix}$

Para calcularmos o determinante dessa matriz dada no enunciado, devemos calcular a diferença entre o produto dos elementos que pertencem à diagonal principal e o produto dos elementos que pertencem à diagonal secundária, ou seja, é uma aplicação da Regra de Sarrus em matrizes de ordem 2.

De acordo com o enunciado, temos a matriz

$A=\begin{bmatrix}-1&-2\\2&3\\\end{bmatrix}$

Passe esta matriz para a notação de determinante

$\det A = \begin{vmatrix}-1&-2\\2&3\\\end{vmatrix}$

Aplique a regra de Sarrus

$\det A= (-1)\cdot3 - (-2)\cdot2$

Multiplique e some os valores

$\det A = -3-(-4)\\\\\\ \det A = -3+4\\\\\\ \det A = 1$

Aplicando a propriedade de inversão de matrizes de ordem 2 comentada acima, usamos $a = -1,~b=-2,~c=2~e~d=3$

$A^{-1}=-\dfrac{1}{\det A}\cdot\begin{bmatrix}-3&-2\\2&1\\\end{bmatrix}$

Sabemos que ao multiplicamos uma constante por uma matriz, o resultado será a matriz com todos os seus elementos multiplicados por essa constante. Logo, substitua o valor de $\det A$

$A^{-1}=-\dfrac{1}{1}\cdot\begin{bmatrix}-3&-2\\2&1\\\end{bmatrix}$

Simplifique a fração e multiplique a matriz pela constante

$A^{-1}=\begin{bmatrix}3&2\\-2&-1\\\end{bmatrix}$

Esta é a matriz inversa que procurávamos.