Question

Sendo
A-1 =
0 n
-1/2 3
a matriz inversa de
A=
m -2
1 0
Calcule m+n

Answer 1

Tem-se:
$A = \begin{bmatrix}m & -2 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ e $A^{-1} = \begin{bmatrix}0 & n \\ -\frac{1}{2} & 3 \\ \end{bmatrix}$

Além disso, sabe-se que a matriz inversa de uma matriz não singular $2 \times 2$ dada por $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\\end{bmatrix}$ é $M^{-1} = \dfrac{1}{\det M} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\\\end{bmatrix}$, onde $\det M = ad-bc$. Assim, $\det A = m \times 0 - (-2)\times 1 = 2$, pelo que obtemos por aplicação da fórmula:
$A^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix}0 & 2 \\-1 & m \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\-\frac{1}{2} & \frac{m}{2} \\ \end{bmatrix}$

Notamos agora que temos duas formas para $A^{-1}$: a que é fornecida no enunciado e aquela que calculámos. Assim, elas devem ser iguais, ou seja:
$A^{-1} =  \begin{bmatrix}0 & 1 \\-\frac{1}{2} & \frac{m}{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & n \\ -\frac{1}{2} & 3 \\ \end{bmatrix}$ 

Assim, para as matrizes acima serem iguais, devem ter cada entrada igual, pelo que obtemos $n = 1$ e $3 = \dfrac{m}{2} \iff m = 6$. Finalmente, concluímos que $m+n = 7$.