Question

Sendo A(0,0), B(3,0), C(4, 2) e D (1,2) determine os pontos E (médio de AB), H (medio de EF), I (médio de FG) e J (um dos pontos que dividem ED em três partes de mesmo comprimento), com G (médio de DC) F (médio de BC).​

Answer 1

Resposta:

$E(\frac{3}{2} ;0)$     $F(\frac{7}{2};1)$       $G(\frac{5}{2};2)$        $H(\frac{5}{2} ;\frac{1}{2} )$         $I(3;\frac{3}{2})$         $J( \frac{4}{3};\frac{2}{3})$

Ver gráfico em anexo.

Explicação passo a passo:

A (0,0)       B ( 3,0 )       ( 4,2 )        D ( 1,2)

$E=(medioAB) =(\frac{0+3}{2};\frac{0+0}{2})=(\frac{3}{2} ;0)$

$F(medio BC ) = (\frac{3+4}{2} ;\frac{0+2}{2} =(\frac{7}{2};1)$

$G(medioDC)=(\frac{1+4}{2} ;\frac{2+2}{2})=(\frac{5}{2};2)$

$H(medioEF)=(\frac{\frac{3}{2}+\frac{7}{2} }{2} ;\frac{0+1}{2} )=(\frac{\frac{10}{2} }{2};\frac{1}{2} ) =(\frac{5}{2} ;\frac{1}{2} )$

$I(medioFG)=(\frac{\frac{7}{2}+\frac{5}{2} }{2} ;\frac{1+2}{2} )=(\frac{\frac{12}{2} }{2} ;\frac{3}{2} )=(\frac{6}{2};\frac{3}{2})=(3;\frac{3}{2})$

Para calcular o ponto J precisamos de fazer algos cálculos diferentes

porque agora não estamos a calcular pontos médios.

1º passo → Calcular o vetor ED.

Agora estou a lidar com vetor

Observação → Cálculo de um vetor conhecendo os pontos extremos

Um vetor RT é igual às coordenadas do ponto T menos as coordenadas

do ponto R.

Vetor RT = T - R

Aqui ao calcular o vetor ED vou fazer o mesmo.

$vetor ED=D-E=(1;2)-(\frac{3}{2} ;0)=(1-\frac{3}{2} ;2-0)=(\frac{2}{2}-\frac{3}{2};2)=(-\frac{1}{2} ;2 )$

2º passo →  Vetor que seja a terça parte do vetor ED

Encontrar um vetor que seja a terça parte do vetor ED, porque estou à procura de um dos postos que dividem ED em três partes do mesmo comprimento.

Vou chamar a esse vetor (x ; y ) , porque não sei as suas coordenadas.

Se o vetor que procura é a terça parte de ED, então ED, que é maior, será o triplo de vetor ( x ; y )

vetor ED = 3 * vetor ( x ; y )

$(-\frac{1}{2};2)=3*(x;y)$

$(-\frac{1}{2};2)= (3x ; 3y )$

Para que dois vetores sejam iguais, as suas coordenadas correspondentes

têm de ser iguais.

$-\frac{1}{2}= 3x..........e...........2=3y$

$-\frac{1}{2} =3x$       dividir tudo por 3

$-\frac{1}{2}:3 =3x:3$

$-\frac{1}{2}:\frac{3}{1} =x$

$-\frac{1}{2}*\frac{1}{3} =x$

Observação → Divisão de frações

Mantém-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso da segunda fração.

$-\frac{1}{6}=x$

$2=3y$     dividir tudo por 3

$\frac{2}{3} =\frac{3}{3} y$

$y =\frac{2}{3}$    

O vetor (x ; y ) que é a terça parte de vetor ED,  é:

$(-\frac{1}{6} ;\frac{2}{3} )$

Observação → O que dá a soma de um ponto a um vetor ?

A soma de um ponto a um vetor vai dar outro ponto, que fica na

extremidade final do vetor.

3º passo → Calcular coordenadas de ponto J

Para encontrar o ponto J, que optei por ficar perto do ponto E ( 3/2 ; 0),

tenho que somar as coordenadas de ponto E com as coordenadas do

"vetor terça parte "

$(\frac{3}{2} ;0)+(-\frac{1}{6};\frac{2}{3})=( \frac{3}{2} +(-\frac{1}{6});0+\frac{2}{3})$

cálculos auxiliares

$\frac{3}{2} +(-\frac{1}{6})=\frac{9}{6} -\frac{1}{6}=\frac{9-1}{6} =\frac{8}{6}=\frac{8:2}{6:2}=\frac{4}{3}$

fim de cálculos auxiliares

$(\frac{3}{2} ;0)+(-\frac{1}{6};\frac{2}{3})=( \frac{4}{3};\frac{2}{3})=ponto....J$

Bons estudos.

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( * ) multiplicação