Question

Sendo √(18-8√2) = a+b√2, o valor a-b tem valor:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

Answer 1

Resposta:

c)

Explicação passo-a-passo:

Sendo $\sqrt{18-8\sqrt{2}}$ um número positivo, inicialmente concluímos que $a+b\sqrt{2}>0$. Com isso em mente, vamos continuar a resolução. Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado, ficamos com:

$18-8\sqrt{2}=(a+b\sqrt{2})^2$

$18-8\sqrt{2}=a^2+2ab\sqrt{2}+(b\sqrt{2})^2$

$18-8\sqrt{2}=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}$

Igualando os termos independentes e os termos ligados a $\sqrt{2}$ em ambos os lados da igualdade, obtemos o seguinte sistema de equações:

$\left \{ {{a^2+2b^2=18} \atop {2ab=-8}} \right.$

Da 2º equação, tiramos que $a=-4/b$. Substituindo na 1º equação:

$(-\frac{4}{b})^2+2b^2=18$

$\frac{16}{b^2}+2b^2=18$

Multiplicando ambos os lados da igualdade por $b^2$:

$16+2(b^2)^2=18b^2$

$2(b^2)^2-18b^2+16=0$

$(b^2)^2-9b^2+8=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara para $b^2$:

$b^2=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot1\cdot8}}{2}$

$b^2=\frac{9\pm\sqrt{49}}{2}$

$b^2=\frac{9\pm7}{2}$

Daí tiramos que $b^2=1\therefore b=\pm1$ e $b^2=8\therefore b=\pm2\sqrt{2}$. Sendo $a=-4/b$, concluímos que os possíveis valores para o dupla $(a,b)$ são $(a,b)\in\{(-4,1),(4,-1),(-\sqrt{2},2\sqrt{2}),(\sqrt{2},-2\sqrt{2})\}$.

Mas como $a+b\sqrt{2}$ deve ser positivo, dos resultados acima, apenas dois satisfazem essa condição, sendo eles $(a,b)=(4,-1)$ e $(a,b)=(-\sqrt{2},2\sqrt{2})$. Dessas duas soluções tiramos que os possíveis valores de $a-b$ são $4-(-1)=5$ e $-\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-3\sqrt{2}$.