Question

Sendo 0 <= x<= pi, determine as raízes da equação log2(cos 2x)-log2 (senx)=o

Answer 1

Sabemos que:

log de a na base b = n ---> bⁿ = a
log a - log b = log a/b
cos 2x = cos² x - sin² x
sin² x + cos² x = 1 ---> cos² x = 1 - sin² x

Logo: (log² = log na base 2)

log² (cos 2x) - log² (sin x) = 0
log² (cos 2x)/(sin x) = 0

2^0 = cos 2x/sin x
1 = cos 2x/sin x
sin x = cos 2x
sin x = cos² x - sin² x
cos² x = sin x + sin² x
1 - sin² x = sin x + sin² x
0 = 2.sin² x + sin x - 1

Temos uma equação do 2° grau, e descobriremos o valor de sin x:

Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4(2)(-1)
Δ = 1 + 8
Δ = 9
√Δ = √9 = 3

sin x = (-b ± √Δ)/2a

sin' x = (-1 + 3)/2.2
sin' x = 2/4
sin' x = 1/2

sin'' x = (-1 - 3)/2.2
sin'' x = -4/4
sin'' x = -1

Como x é um ângulo do 1° ou 2° quadrante (0 < x < π), o 2° resultado é impossível, pois o seno só é igual a -1 no ponto 3π/2. Logo, o único resultado possível para sin x é 1/2, e o ângulo em questão é π/6 (30°). Portanto:

x = π/6 rad ou x = 30°