Question

(Senai-SP) Um tripulante do navio cargueiro "Luna Mar", ao avistar o porto, percebeu uma torre próxima ao cais e observou o topo da torre com uma inclinação de 30º. Após navegar mais 6 metros, o tripulante verificou o topo da torre com uma inclinação de 60º. Sendo assim, a altura aproximada da torre é de: (use √3 ≈ 1,73)
a) 3 m
b) 3,4 m
c) 5,1 m
d) 7,8 m
e) 10,2 m

Answer 1

Oi Rodrigo.

Primeiro vamos interpretar o enunciado e fazer um desenho da situação:
Em um ponto inicial A, o tripulante avista o topo C da torre com uma inclinação de 30º, avançando 6m até um ponto B, avista novamente o topo agora com uma inclinação de 60º. Isso resulta em um desenho parecido com o que eu fiz em anexo.

Nesse momento, podemos encontrar o valor do ângulo obtuso B do triângulo ABC, pois sabemos que esse ângulo será complementar ao ângulo B de 60º, ou seja, juntos eles formarão um ângulo de 180º. Portanto, podemos concluir que o ângulo obtuso do triângulo ABC vale 120º.

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, podemos dizer que o ângulo restante do triângulo ABC mede 30º e portanto ele é um triângulo isósceles. Por este fato, sabemos que tanto os dois lados desse triângulo que são adjacentes os ângulos iguais de 30º têm o mesmo valor. logo, o lado CB desse triângulo mede 6m, pois, como dito, ele tem o mesmo valor de AB.

Já no triângulo BCD, veja que temos um ângulo de 60º e um ângulo reto (90º) com a base da torre, no ponto D. Como temos o valor de 2 ângulos e 1 lado nesse triângulo, podemos aplicar a lei dos senos e descobrir o valor h da altura da torre:
$\frac{6}{sen90}= \frac{h}{sen60}$

60º é um ângulo notável, e, portanto, sabemos que o valor de seu seno é $\frac{ \sqrt{3} }{2}$.

Do mesmo modo, de acordo com o ciclo trigonométrico, sabemos que sen90 = 1, ou então pode-se aplicar a fórmula de adição de arcos, transformando sen90 na soma dos ângulos notáveis sen(45+45), que chegaremos ao mesmo resultado 1.

Portanto, substituindo os valores na lei dos senos:
$\frac{6}{sen90}= \frac{h}{sen60} \\ \\ \frac{6}{1}= \frac{h}{ \frac{ \sqrt{3}}2} } \\ \\ h = \frac{6 \sqrt{3} }{2} \\ \\ h = 3 \sqrt{3}$

O problema pede para utilizarmos √3 = 1,73, então:
$h = 3*1,73 \\ h = 5,19m$

A altura da torre é aproximadamente 5,19m, ou seja, alternativa C.

Bons estudos!