Question

sen²(x) = tg²(x) sobre 1+tg²(x)

Answer 1

Supondo $\cos x\neq 0,$ temos que

$\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ =\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x\cdot \cos^{2}x}{\cos^{2}x}\\ \\ \\ =\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x}\cdot \cos^{2}x\\ \\ \\ =\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x}\cdot \dfrac{\cos^{2}x}{1}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Pela Relação Trigonométrica Fundamental, temos que $1=\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x.$ Portanto, $\mathbf{(i)}$ fica

$=\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x}\cdot \dfrac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x}$


Como $\cos^{2}x\neq 0,$ podemos colocar $\cos^{2}x$ em evidência na segunda fração e simplificando, temos

$=\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x}\cdot \dfrac{\cos^{2}x} {\cos^{2}x\cdot (1+\frac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x})}\\ \\ \\ =\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x}\cdot \dfrac{1}{1+\frac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x}}\\ \\ \\ =\left(\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x} \right )^{2}\cdot \dfrac{1}{1+\left(\frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x} \right )^{2}}\\ \\ \\ =(\mathrm{tg\,}x) ^{2}\cdot \dfrac{1}{1+(\mathrm{tg\,}x)^{2}}\\ \\ \\ =\dfrac{\mathrm{tg^{2}\,}x}{1+\mathrm{tg^{2}\,}x}$

como queríamos demonstrar.

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Obs.: A identidade só vale quando $\cos x\neq 0,$ pois só nesses casos existe $\mathrm{tg\,} x.$