Question

sen x = 3/5 (x do primeiro quadrante), o valor de sen 2x é?

Answer 1

Se  sen x = 3/5,  e  x  é um arco do  1º  quadrante, calcular  sen 2x.

—————

     Solução:

Pela identidade do seno do arco duplo, temos que

     •   $\mathrm{sen\,}2x=2\,\mathrm{sen\,}x\cos x$


Para encontrar  cos x,  usaremos a Relação Fundamental da Trigonometria:

      $\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x=1\\\\ \cos^2 x=1-\mathrm{sen^2\,}x\\\\ \cos^2 x=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{\!2}\\\\\\ \cos^2 x=1-\dfrac{9}{25}\\\\\\ \cos^2 x=\dfrac{25-9}{25}\\\\\\ \cos^2 x=\dfrac{16}{25}$


Tomando raízes quadradas de ambos os lados,

     $\cos x=\pm\,\sqrt{\dfrac{16}{25}}\\\\\\ \cos x=\pm\,\dfrac{4}{5}$


Mas  x  é do  1º  quadrante. Portanto, o cosseno é positivo:

     $\cos x=\dfrac{4}{5}$          ✔


Finalmente, calculamos  sen 2x:

     $\mathrm{sen\,}2x=2\,\mathrm{sen\,}x\cos x\\\\ \mathrm{sen\,}2x=2\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{4}{5}\\\\\\ \mathrm{sen\,}2x=\dfrac{2\cdot 3\cdot 4}{5\cdot 5}$

     $\mathrm{sen\,}2x=\dfrac{24}{25}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)