Question

Sen(a+b) para sen a= -2/3 e Cos b=-1/2 , π < a,b < 3π/2

Answer 1

Calcular  sen(a + b),  dado que

     •  $\mathsf{sen\,a=-\,\dfrac{2}{3}}$

     •  $\mathsf{cos\,b=-\,\dfrac{1}{2}}$

     •  a, b  são arcos do 3º quadrante, pois  $\mathsf{\pi<a<\dfrac{3\pi}{2}}$  e  $\mathsf{\pi<b<\dfrac{3\pi}{2}}.$

=====

Usaremos a seguinte identidade trigonométrica:

O seno da soma de dois arcos (uma das fórmulas de Werner):

     •   $\mathsf{sen(a+b)=sen\,a\,cos\,b+sen\,b\,cos\,a\qquad\quad(i)}$

=====

Usaremos a Relação Trigonométrica Fundamental para encontrar  cos a  e  sen b:

•   Encontrando  cos a:

     $\mathsf{sen^2\,a+cos^2\,a=1}\\\\ \mathsf{cos^2\,a=1-sen^2\,a}\\\\ \mathsf{cos^2\,a=1-\left(\!-\,\dfrac{2}{3}\right)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\,a=1-\dfrac{4}{9}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\,a=\dfrac{9}{9}-\dfrac{4}{9}}$

     $\mathsf{cos^2\,a=\dfrac{9-4}{9}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\,a=\dfrac{5}{9}}\\\\\\ \mathsf{cos\,a=\pm\,\sqrt{\dfrac{5}{9}}}\\\\\\ \mathsf{cos\,a=\pm\,\dfrac{\sqrt{5}}{3}}$


Como  a  é um arco do 3º quadrante, o cosseno de  a  é negativo. Portanto,

     $\mathsf{cos\,a=-\,\dfrac{\sqrt{5}}{3}}$          ✔


•   Encontrando  sen b:

     $\mathsf{sen^2\,b+cos^2\,b=1}\\\\ \mathsf{sen^2\,b=1-cos^2\,b}\\\\ \mathsf{sen^2\,b=1-\left(\!-\,\dfrac{1}{2}\right)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{sen^2\,b=1-\dfrac{1}{4}}\\\\\\ \mathsf{sen^2\,b=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}}$

     $\mathsf{sen^2\,b=\dfrac{4-1}{4}}\\\\\\ \mathsf{sen^2\,b=\dfrac{3}{4}}\\\\\\ \mathsf{sen\,b=\pm\,\sqrt{\dfrac{3}{4}}}\\\\\\ \mathsf{sen\,b=\pm\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$


Como  b  é um arco do 3º quadrande, o seno de  b  é negativo. Portanto, 

     $\mathsf{sen\,b=-\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$          ✔

=====

Finalmente, substituímos os valores conhecidos na identidade (i):

     $\mathsf{sen(a+b)=sen\,a\,cos\,b+sen\,b\,cos\,a}\\\\ \mathsf{sen(a+b)=-\,\dfrac{2}{3}\cdot\bigg(\!\!-\dfrac{1}{2}\bigg)+\bigg(\!\!-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg )\cdot \bigg(\!\!-\dfrac{\sqrt{5}}{3}\bigg )}\\\\\\ \mathsf{sen(a+b)=\dfrac{2\cdot 1}{3\cdot 2}+\dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}}{2\cdot 3}}\\\\\\ \mathsf{sen(a+b)=\dfrac{2}{6}+\dfrac{\sqrt{3\cdot 5}}{6}}$

     $\boxed{\begin{array}{l}\mathsf{sen(a+b)=\dfrac{2+\sqrt{15}}{6}}\end{array}}$   <———   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)