Sempre quando alguém perguntava sobre as idades dos 3 filhos da professora Geralda de Matemática, ela respondia de uma maneira bem enigmática:
"O mais novo tem (x+10) anos, o do meio tem (4x+6) anos e o mais velho, (3x²-4) anos".
Mas pra saber exatamente a idade deles ela completava: "As idades dos meus filhos são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética".
Quantos anos têm o filho mais novo de Geralda?
a) 3 anos
b) 13 anos
c) 18 anos
d) 23 anos
e) 7 anos
Soluções para a tarefa
Podemos afirmar que a idade do filho mais novo, sabendo que se trata de uma progressão aritmética, é de 13 anos (Alternativa B).
Para solucionar o problema é necessário um conhecimento prévio acerca dos sistemas de equações e das progressões aritméticas.
Sabendo que as idades são termos da PA, temos:
Filho I: A1 = X+10
Filho II: A2 = 4X+6
Filho III: A3 = 3X²-4
Em relação aos termos de uma PA, temos que:
A2 = A1+R
A3 = A1+2R
Substituindo no sistema de equações, obtemos o seguinte sistema:
A1 = X+10
A1+R = 4X+6
A1+2R = 3X²-4
Utilizando a equação II e substituindo em III.
R = 4X+6-A1
A1+2.(4X+6-A1) = 3X²-4 (substituindo o valor de I (A1 = X+10), temos)
A1 + 8X + 12 -2.A1 = 3X²-4
(X+10) +8X +12 -2. (X+10) = 3X² -4
X+10 +8X +12 -2X -20 = 3X² -4
-3X² +7X +26 -20 = 0
-3X² +7X +6 =0
Resolvendo as raízes da equação, obtemos:
Δ = b² -4ac
Δ = 49 - 4. (-3). (6)
Δ = 49 + 72
Δ = 121
x = -b ±√Δ
2a
x = -7 ±11
-6
x' = -18/-6 = 3
x'' = -4/6 = -1/3 (pois não há idade negativa tampouco fracionada)
Sabendo que a idade do filho mais novo é dada por:
Filho I: A1 = X+10 = 3 +10 = 13 anos (Alternativa B)
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Resposta:
13 anos
Explicação passo a passo:
CORRIGIDO PELO AVA