Question

semana 6
Assinale a alternativa que corresponde à integral indefinida dada a seguir:

integral e à potência de 2 x fim do exponencial c o s x d x


s e n x mais 2 cos x mais C


2 e à potência de 2 x fim do exponencial c o s x mais C


e à potência de 2 x fim do exponencial sobre 5 parêntese esquerdo s e n x mais 2 c o s x parêntese direito mais C


e à potência de 2 x fim do exponencial s e n x mais C


e à potência de 2 x fim do exponencial parêntese esquerdo s e n x mais c o s x parêntese direito mais C

Answer 1

A alternativa correspondente à integral indefinida dada é:

c) $\footnotesize\tt\frac{1}{5}e^{2x}\big(2cos\,x+sen\,x\big)+C$

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Por esta integral possuir um produto de dois fatores, poderemos aplicar a integração por partes, que consiste em:

$\displaystyle\int\tt u\,dv=uv-\displaystyle\int\tt vdu$    

A forma como qual devemos usar esse método é escolher um fator para a variável u e outro fator para diferencial dv, de maneira que encontra-se a diferencial du ao derivar u e encontra-se a variável v ao integrar dv.

Resolução do problema

$\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx$

A escolha para u deve basear-se no critério de prioridades LIATE: f. Logarítmicas - f. trigonométricas Inversas - f. Algébricas - f. Trigonométricas - f. Exponenciais. Sendo assim, a função trigonométrica tem mais prioridade que a exponencial, por isso faremos u = cos x e, em consequência, dv = e²ˣ.

$\begin{cases}\tt u=cos\,x~\Rightarrow~\dfrac{du}{dx}=(cos\,x)'~\Leftrightarrow~du=-\,sen\,x\,dx\\\\\tt dv=e^{2x}~\Rightarrow~\int\tt dv=\int\tt e^{2x}~\Leftrightarrow~v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{cases}$

Por conseguinte, substitua essas partes na fórmula supraexposta:

$\displaystyle\int\tt u\,dv=uv-\displaystyle\int\tt vdu$

$\displaystyle\int\tt e^{2x}\,cos\,x\,dx~=~cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}-\displaystyle\int\tt \!\!-\,\dfrac{1}{2}e^{2x}\,sen\,x\,dx$

                        $\tt=~cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\tt e^{2x}\,sen\,x\,dx$

Novamente integraremos por partes essa outra integral. Exercendo u = sen x e v = e²ˣ, encontra-se:

$\begin{cases}\tt u=sen\,x~\Rightarrow~\dfrac{du}{dx}=(sen\,x)'~\Leftrightarrow~du=cos\,x\,dx\\\\\tt dv=e^{2x}~\Rightarrow~\int\tt dv=\int\tt e^{2x}~\Leftrightarrow~v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{cases}$

Daí:

$\displaystyle\int\tt e^{2x}\,cos\,x\,dx~=~cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}+\dfrac{1}{2}\bigg(sen\,x\dfrac{1}{2}e^{2x}-\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{2}e^{2x}cos\,x\,dx\bigg)$

                        $\tt=~cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}+\dfrac{1}{2}\bigg(sen\,x\dfrac{1}{2}e^{2x}-\dfrac{1}{2}\underbrace{\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx\:}_{\tt surpresinha~:D}\bigg)$

Como essa é a integral de origem, isole-a, assim encontrando o resultado correspondente:

$\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx=cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}+\dfrac{1}{2}\bigg(sen\,x\dfrac{1}{2}e^{2x}-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx\bigg)$

$\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx=cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}+sen\,x\dfrac{1}{4}e^{2x}-\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx$

$\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx+\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx=cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}+sen\,x\dfrac{1}{4}e^{2x}$

$\tt\dfrac{4}{4}\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx+\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx=cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}+sen\,x\dfrac{1}{4}e^{2x}$

$\tt\dfrac{5}{4}\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx=cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}+sen\,x\dfrac{1}{4}e^{2x}$

$\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx=\frac{4}{5}\bigg(cos\,x\,\dfrac{1}{2}e^{2x}+sen\,x\dfrac{1}{4}e^{2x}\bigg)$

$\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx=\frac{1}{5}\big(2cos\,x\,e^{2x}+sen\,x\,e^{2x}\big)$

$\boxed{\displaystyle\int\tt e^{2x}cos\,x\,dx=\frac{1}{5}e^{2x}\big(2cos\,x+sen\,x\big)+C}$

Como vemos, a alternativa c) é a resposta.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.