Question

Sem substituir valores e usando a técnica, como escrever o gráfico dessa função que foi proposta num vestibular chamado Escola Naval? f(x) = x - 2arc tg(x).

Answer 1

Resposta: Com o auxílio do Cálculo Diferencial.

Primeira Parte da Explicação:

Uma vez me deparei com essa questão do vestibular da Escola Naval. Confesso que na primeira vez eu pensei "Como eu vou fazer isso?". Após ter tido tal pensamento, percebi que ela poderia ser facilmente solucionada com o auxílio do Cálculo Diferencial, que por sua vez consta explicitamente no edital do concurso. Para um melhor entendimento sobre o que será escrito aqui, anexarei o texto original da questão, que nos presenteará com todas as alternativas correspondentes. Primeiramente, nos foi dada a função $f(x)=x+2\cdot arc\ tg(x)$, com isso vamos calcular, a título de curiosidade, o valor de $f(0)$. Sendo assim, $f(0)$ é dado por:

$f(0)=0+2\cdot arc\ tg(0)$  ⇒

$f(0)=0 +2\cdot 0$  ⇒

$f(0) = 0$

Portanto, está provado que a representação gráfica de $f(x)=x+2\cdot arc\ tg(x)$ passa pela origem do sistema cartesiano, ou seja, pelo ponto $P=(0,0)$. A partir de tal fato, elimina-se de imediato as alternativas (D) e (E). Com o intuito de conhecer mais sobre a misteriosa curva de $f$, vamos derivá-la até a primeira ordem, ou seja, calcularemos o valor da derivada primeira $f'(x)$ da função $f(x)=x+2\cdot arc\ tg(x)$. Derivando, temos:

$f(x)=x+2\cdot arc\ tg(x)$  ⇒

$f'(x)=(x+2\cdot arc\ tg(x))'$  ⇒

$f'(x)=(x)'+2\cdot (arc\ tg(x))'\ ^{*}$  ⇒

$f'(x)=1+2\cdot (\frac{1}{1+x^{2}})$  ⇒

$f'(x)=1+\frac{2}{1+x^{2}}$  ⇒

Percebe-se que a derivada primeira de $f(x)$ é $f'(x)=1+\frac{2}{1+x^{2}}$, que por sua vez é positiva para todo x real, ou seja, temos: $f'(x)=1+\frac{2}{1+x^{2}}>0,\  \forall \ x\ \in \mathbb{R}$. Posto isto, temos que a curva representativa da função é estritamente crescente ao longo de todo o seu domínio $D(f(x))$, que é $D(f(x))=\mathbb{R}$. Mesmo tendo em mente tal fato, ainda sim não é suficiente para saber qual dos gráficos, dentre as alternativas, é o correto. Objetivando encontrar a resposta, vamos obter a lei de formação de uma terceira função que está intrinsecamente relacionada às concavidades da curva que representa o gráfico de $f(x)=x+2\cdot arc\ tg(x)$, que por sua vez será a função derivada de segunda ordem $f''(x)$. Assim sendo, deriva-se uma única vez a função $f'(x)$ e obtém-se $f''(x)$. Logo:

$f''(x)=(f'(x))'$  ⇒

$f''(x)=(1+\frac{2}{1+x^{2}})'$  ⇒

$f''(x)=(1)'+(\frac{2}{1+x^{2}})'$  ⇒

$f''(x)=0+\frac{2'\cdot (1+x^{2})-2(1+x^{2})'}{(1+x^{2})^{2}}$  ⇒

$f''(x)=\frac{-2(2x)}{(1+x^{2})^{2}}$  ⇒

$f''(x)=\frac{-4x}{(1+x^{2})^{2}}$

Abraços!

Answer 2

Resposta: Com o auxílio do Cálculo Diferencial.

Segunda Parte da Explicação:

Também é sabido que a curva representativa do gráfico de uma função $g(x)$ é côncava para cima no mesmo intervalo real que torna a função derivada de segunda ordem $g''(x)$ positiva, ou seja, no caso $g''(x)>0$. Será côncava para baixo em todo o intervalo que faz a derivada segunda $g''(x)$ ser negativa, o que equivale a $g''(x)<0$. Já no caso de $g''(x)$ ser igual a $0$ (zero), dizemos que os valores de x que tornam verdadeira a igualdade $f''(x)=0$ são os famosos pontos de inflexão. Tais pontos são chamados assim, pois é neles onde há uma mudança de concavidade da curva. Isto posto, vamos calcular os pontos de inflexão de $f(x)=x+2\cdot arc\ tg(x)$, fazendo $f''(x)=0$. Com isso, obteremos:

$f''(x)=0$  ⇒

$\frac{-4x}{(1+x^{2})^{2}}=0$  ⇒

$x=0$

Ou seja, é no ponto $P=(0,f(0))=(0,0)$ que a representação cartesiana da função $f(x)$ muda de concavidade. Sendo assim, a alternativa (B) está eliminada. Para descobrir se é o item (A) ou (C), faremos $f''(x)>0\ \ (i)$ e $f''(x)<0\ \ (ii)$. O que equivale a:

De $(i)$:

$f''(x)>0$  ⇒

$\frac{-4x}{(1+x^{2})^{2}}>0$  ⇒

$x<0$

Perceba que $f''(x)>0$ para $x<0$. A partir disto, conclui-se que, para $x<0$, a concavidade da função $f(x)=x+2\cdot arc\ tg(x)$ é voltada para cima. Até aqui, já temos o suficiente para afirmar que a alternativa (A) está correta. Mesmo não sendo necessário, encontraremos o intervalo real que satisfaz a expressão $(ii)$. De $(ii)$, obtém-se:

$f''(x)<0$  ⇒

$\frac{-4x}{(1+x^{2})^{2}}<0$  ⇒

$x>0$

Donde conclui-se que a função $f(x)=x+2\cdot arc\ tg(x)$ é côncava para baixo no intervalo real $I=(0,+\infty)=]0,+\infty[$. Resumindo: O gráfico de $f(x)=x+2\cdot arc\ tg(x)$ é estritamente crescente ao longo de todo o seu domínio $D(f(x))=\mathbb{R}$, passa por $P=(0,0)$, é côncavo para cima no intervalo $I'=(-\infty,0)=]-\infty,0[$ e côncavo para baixo em $I=(0,+\infty)=]0,+\infty[$. Portanto, a alternativa (A) está corretíssima.

$^{*}\ (arc\ tg(f(x)))'=\frac{1}{1+f^{2}(x)}\cdot f'(x)$

OBS.: Perceba que as alternativas (A), (B), (C), (D) e (E) são os itens explícitos no texto original da questão, que por sua vez encontra-se em anexo. Venho salientar o fato de que esta resolução está dividida em duas partes, pois ela ficou muito extensa e com isso não consegui postá-la inteiramente. Só um pequeno detalhe, postarei a segunda parte por meio de uma outra conta que tive que criar aqui no Brainly rsrs.

Abraços!