Question

sem efetuar divisões prove que o polinômio p x = x^4-4x^3+4x^2-4+3 e divisivel por x-3 e por x-i



alguém sabe pelo amor de Deus

Answer 1

         Aplicando o Teorema do Resto:
      # calculamos a raiz do divisor
      # substituímos o "x" pelo valor da raiz

   
     (x) = x⁴ - 4x³ + 4Px² - 4x + 3               Verificando se é divisível por x-3
     P(3) = 3⁴ - 4(3)³ + 4(3)² - 4.3 + 3                  x - 3 é o divisor
     P(3) = 81 - 4.27 + 4.9 - 12 + 3           x - 3 = 0 --> x = 3 <-- raiz do divisor
     P(3) = 81 - 108 + 36 - 12 + 3
     P(3) =  -27 + 36 - 12 + 3
     P(3) =   9  - 12 + 3
     P(3) =  -3  + 3
     P(3) =  0
    
      O resto é igual a zero (0) ,logo o polinômio é divisível por  x - 3
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   Verificando se é divisível por x - i

  Sabendo que:
                        --> i¹  =  i
                        --> i²  =  -1
                       ---> i³  =  -i
                        --> i⁴  =  1
 
     P(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² - 4x + 3    -------------- x - i = 0 --> x = i (raiz)
     P(i)  = i⁴ - 4.i³ + 4.i²  - 4.i + 3
     P(i)  = 1⁴ - 4(-i) + 4(-1) - 4.i + 3
     P(i)  = 1 + 4i - 4 - 4i + 3
     P(i)  = 1 - 4  + 3 
     P(i)  =  - 3  + 3
     P(i)  =   0      
                      
   O resto é igual a zero (0), logo o polinômio é divisível por x - i