Question

sejaz=1+i, onde i é a unidade imaginária. Usando a 1° fórmula de D'Moivre calcule a potência z^16.

Answer 1

Antes de tudo, vamos:

a) Determinar o módulo do número complexo:

$\rho=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$

b) Determinar o argumento do complexo:

$sen \theta=\frac{b}{\rho}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\\ \\ cos \theta=\frac{a}{\rho}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\\ \\ Portanto \ \theta=45^o$

c) Agora vamos escrever o complexo na fórma trigonométrica:

$z=\sqrt2(cos45^o+i.sen45^o)$

d) Fórmula de DeMoivre:

$z^{16}=(\sqrt2)^{16}(cos(16.45^o)+i.sen(16.45^o))\\ \\ z^{16}=256(cos720^o+i.sen720^o)\\ \\ z^{16}=256(1+i.0)=256$