Question

Sejam z=a+bi e w=c+di dois números complexos, com w diferente de 0. Determine a relação entre os números reais a,b,c e d para que o número complexo z/w
seja :

A) imaginário puro
B) real

Answer 1

Primeiramente, $\frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di}= \frac{a+bi}{c+di}* \frac{c-di}{c-di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{ c^{2} + d^{2} } = \frac{ac + bd}{ c^{2} + d^{2} } + \frac{(bc - ad)i}{ c^{2} + d^{2} }$

Agora, para que seja real, deveremos ter
$\frac{(bc - ad)}{ c^{2} + d^{2} } = 0$ ⇔ $(bc - ad) = 0$ ⇔ $bc = ad$

Para que seja imaginário puro, deveremos ter

$\frac{ac + bd}{ c^{2} + d^{2} } = 0$ ⇔ $ac + bd = 0$ ⇔ $ac = -bd$

Portanto, as respostas são:

a) ac = -bd
b) bc = ad