Question

Sejam xe y reais positivos e diferentes de 1. Se logy x = 2, calcule:
$log_{ {x}^{3} } {y}^{2}$


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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$log_{ {x}^{3} }( {y}^{2} )$

Para resolver essa questão,faremos uma mudança de base.A mudanca de base de um logaritmo funciona assim :

$log_{b}(a)$

Podemos fazer a mudança de base da seguinte forma :

$log_{b}(a) = > \: \frac{ log_{c}(a) }{ log_{c}(b) }$

Sendo "a" e "b" o logaritmando e a base,respectivamente."C" é um número real conveniente para cada situação,sendo que como ele vai assumir o papel de base,ele deve ser maior que zero e diferente de 1.

Vamos aplicar a propriedade,mudando tudo para a base y:

$log_{ {x}^{3} }( {y}^{2} ) = > \frac{ log_{y}( {y}^{2} ) }{ log_{y}( {x}^{3} ) } \\ \\ \frac{2. log_{y}(y) }{3. log_{y}( x ) }$

Lembrando que quando o logaritmando é igual à base,o logaritmo vale 1.

Então:

$log_{y}(y) = 1$

E não esqueça que :

$log_{x}(y) = 2$

Dito isso :

$\frac{2.1}{3.2} \\ \\ \frac{2 \div 2}{6 \div 2} \\ \\ \frac{1}{3}$

Que é a resposta da questão.

Espero ter ajudado,deixa qualquer dúvida aí nos comentários.Bons estudos :v