Question

Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação x3 + 1 = 0, tomando como base o conjunto dos números complexos.Ao representarmos geometricamente essas raízes no plano de Argand-Gauss, obtemos um triângulo, cujos vértices
são os afixos de x1, x2 e x3. A área do triângulo é:

gabarito : 3raiz3 /4

Answer 1

olá primeiro iremos encontrar as raízes
x³+1=0
x=³✓-1
x=-1 encontramos uma das três raízes
usando argrand

-1| 1 0 0 | 1
|1 -1 1 |0
agr que reduzimos a equação iremos escrevê-la e achar as raízes q faltam
x²-x+1=0
∆=1²-4.1.1
∆=-3
(1+- √-3)/2
(1+-√3.i)/2
x'=(1+√3i)2
x"=(1-√3i)/2

temos as três raízes que formaram um triângulo
vamos representar num gráfico
temos q a altura é 1+1/2= 3/2
h=3/2

base= √3/2+√3/2 =√3

área do triângulo
(√3×3/2)/2
(3√3)/4

obs! olhe no gráfico como eu achei a altura e a base.

Answer 2

A área do triângulo formado pelas raízes da equação será 3√3/4 u.a..

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• O plano de Argand-Gauss é um plano de números complexos, onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical a parte imaginaria;
• Podemos encontrar as raízes da equação pelo dispositivo de Briot-Ruffini;

Com essas informações,  temos:

x³ + 1 = 0

x³ = -1

x = ∛-1 = -1

Utilizando o dispositivo, temos:

-1 | 1 0 0 | 1

  | 1 -1  1 | 0

A equação será x² - x + 1 = 0 cujas raízes pela fórmula de Bhaskara serão x1 = (1 + i.√3)/2 e x2 = (1 - i.√3)/2. Colocando as raízes no plano complexo, temos o triângulo da figura, cuja base será 3/2 e altura será √3, logo:

A = (3/2).√3/2

A = 3√3/4

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