Question

sejam x1 e x2 as raízes da equação (k+1)x² (k+3)x +1-k = 0 calcule k de modo que a soma das raízes seja 3​

Answer 1

Resposta:

O valor de k, de modo que a soma das raízes seja 3, é $-\frac{3}{2}$.

Explicação passo a passo:

1) A primeira condição para a existência de uma equação de 2º grau, como é o caso da equação presente na tarefa, é que o coeficiente ligado à variável x de grau 2 (x²) seja diferente de zero.

Então, na equação de 2º grau (k+1).x² + (k +3).x + 1 -k = 0:

k + 1 ≠ 0

k ≠ 0 - 1

k ≠ -1

2) As raízes de uma equação de 2º grau do tipo ax² + bx + c = 0 obedecem à seguinte expressão:

$x_{1} = \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\x_{2} = \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Onde b² - 4ac é definido como discriminante ou delta (Δ) da equação.

Para que a equação de 2º grau tenha soluções no campo dos números reais, o valor do discriminante (Δ) terá de ser maior ou igual a zero.

3) A soma das raízes de uma equação de 2º grau corresponde a:

$x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}$

4) Na equação presente na tarefa, (k+1).x² + (k +3).x + 1 -k = 0, o valor de b é (k + 3) e o valor de a é (k + 1).

Portanto:

 $x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}\\x_{1} + x_{2} = \frac{-(k + 3)}{(k + 1)} \\x_{1} + x_{2} = \frac{- k - 3}{k + 1}$

5) No problema dado, a soma das raízes x₁ e x₂ é igual a 3.

$x_{1} + x_{2} = 3$

6) Dos itens 4) e 5), temos:

$3 = \frac{- k - 3}{k + 1}\\3.(k + 1) = - k - 3\\3k + 3 = - k - 3\\3k + k = - 3 - 3\\4k = -6\\k = \frac{-6}{4}\\k = \frac{-3}{2} \\k = -\frac{3}{2}$

7) O valor de k, para que a soma das raízes x₁ e x₂ seja igual a 3, é $-\frac{3}{2}$.