Question

sejam x, y pertencentes aos reais positivos tais que log(x + y) = log(x) + log(y). Determine:

(1/x) + (1/y)

Answer 1

 Olá!

 Sabemos que $\mathsf{\log (x \cdot y) = \log x + \log y}$. Ora, mas de acordo com o enunciado, temos que: $\mathsf{\log (x + y) = \log x + \log y}$.

 Com efeito, igualamos.

$\\ \mathsf{\log \ x+\log y=\log x+\log y}\\\\ \mathsf{\log (x \cdot y) = \log (x + y)} \\\\ \mathsf{x \cdot y = x + y} \\\\ \mathsf{xy - x = y} \\\\ \mathsf{x(y - 1) = y} \\\\ \mathsf{x = \frac{y}{y - 1}}$

 Por fim, basta substituir "x" na expressão dada no enunciado, veja:

$\\ \mathsf{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} =} \\\\ \mathsf{\frac{y - 1}{y} + \frac{1}{y} =} \\\\ \mathsf{\frac{y - 1 + y}{y} =} \\\\ \mathsf{\frac{y}{y} =} \\\\ \boxed{\mathsf{1}}$

 Espero ter ajudado!!

 A propósito, muito boa essa questão, PARABÉNS!!