Question

Sejam x, y e z números reais positivos. A expressão 5 log x + $\frac{1}{3}$ log y - 2 log z é igual a:

a) $\frac{log x^{5} log y^{3} }{log z^{2} }$

b) log $\frac{5xy}{6z}$

c) log $\frac{ x^{5}+ \sqrt{y} }{ z^{2} }$

d) log $\frac{ x^{5} \sqrt[3]{y} }{ z^{2} }$

e) log (5x + $\frac{y}{3}$ - 2)

Gostaria do desenvolvimento da questão. Obrigada desde já.
20 pontos.

Answer 1

$5log_{x} + \frac{1}{3}log_{y} - 2log_{z}$

Para resolver este exercício devemos saber unicamente sobre as propriedades dos logaritmos.

Vamos aplicar a primeira propriedade: todo número que está multiplicando o log, vira a potência da incógnita.

$5logx + \frac{1}{3}logy - 2logz \\\\ logx^{5} + logy^{\frac{1}{3}} - logz^{2}$

Aplicamos a primeira propriedade. Agora vamos consertar essa potência em fração. Quando está em fração, podemos saber que isso veio de alguma raiz. Por exemplo:

$exemplo \ 1 \rightarrow \sqrt{2} = \sqrt[2]{2^{1}} = 2^{\frac{1}{2}} \\\\ exemplo \ 2 \rightarrow \sqrt[4]{5^{3}} = 5^{\frac{3}{4}}$

Por isso:

$logx^{5} + logy^{\frac{1}{3}} - logz^{2} \\\\ logx^{5} + log\sqrt[3]{y^{1}} - logz^{2}$

Agora podemos aplicar mais uma propriedade, que é a seguinte:

$loga \cdot b = loga + logb \\\\ log\frac{a}{b} = loga-logb$

Aplicando neste caso, ficamos com:

$logx^{5} + log\sqrt[3]{y^{1}} - logz^{2} \\\\ \boxed{log\frac{x^{5} \cdot \sqrt[3]{y}}{z^{2}}}$

$\boxed{\boxed{\text{Alternativa \ D}}}$