Question

sejam x=($\frac{1}{ \sqrt{2} } ,0, \frac{1}{ \sqrt{2} })$ e y=($a, \frac{1}{ \sqrt{2} },-b$).para quais valores de a e b,o conjunto{x,y} é ortonormal?

Answer 1

Bom, para o conjunto ser ortonormal, a multiplicação entre os vetores deve ser iguala a zero, e o módulo de cada vetor deverá ser igual a 1. Com essas premissas, temos:

$\displaystyle \vec{x} \cdot \vec{y} = 0 \\ \\ \\ \bigg( \frac{1}{\sqrt{2}} , 0 ,\frac{1}{\sqrt{2}} \bigg) \cdot \bigg( a, \frac{1}{\sqrt{2}} , -b \bigg) = 0 \\ \\ \\ \frac{1}{\sqrt{2}} a - \frac{1}{\sqrt{2}} b = 0 \\ \\ \\ \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{b}{\sqrt{2}} \\ \\ \\ \sqrt{2} \, \, a = \sqrt{2} \, \, b \\ \\ a = b$

E de acordo com a segunda premissa:

$\displaystyle || \vec{y} || = 1 \\ \\ \\ \sqrt{a^2 + \bigg ( \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg)^2 + (-b)^2 } = 1 \\ \\ \\ a^2 + \bigg ( \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg)^2 + (-b)^2 = 1^2 \\ \\ \\ a^2 + \bigg ( \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg)^2 + (-b)^2 = 1$

Temos:

$\displaystyle a^2 + \frac{1}{2} + b^2 = 1 \\ \\ \\ b^2 + \frac{1}{2} + b^2 = 1 \\ \\ \\ 2b^2 = 1 - \frac{1}{2} \\ \\ \\ 2b^2 = \frac{1}{2} \\ \\ \\ b^2 = \frac{1}{4} \\ \\ \\ b = \frac{1}{2}$

Portanto se a = b, a também será igual a 1/2.

E o vetor y será:

$\displaystyle \boxed{ \vec{y} = \bigg( \frac{1}{2} \, \, , \, \frac{1}{\sqrt{2}} \, \, , - \frac{1}{2} \bigg) }$