Question

Sejam x e y reais positivos e diferente de 1. Se log x na base y = 2, calcule:
$log_{ \frac{1}{x} }( \frac{1}{y} )$
$log_{ {y}^{2} }(x)$
Obrigado!
​

Answer 1

Resposta:

Olá!

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que:

$log_{y}(x) = 2 \Rightarrow {y}^{2} = x \Rightarrow \boxed{\boxed{y = \sqrt{x}}}$

Tendo em mente tal informação, podemos resolver as questões.

Resolvendo o exercício:

1)

$\log_{ \frac{1}{x} }( \frac{1}{y} ) = n$

A questão pede para que encontremos o valor de “n". Para tal, teremos que utilizar os dados que nos são disponíveis.

$\log_{ \frac{1}{x} }( \frac{1}{y} ) = \log_{ \frac{1}{x} }( \frac{1}{ \sqrt{x} } ) \\ \\ = \log_{ \frac{1}{x} }( \sqrt{ \frac{1}{x} } ) = n \\ \\ \: \Rightarrow {( \frac{1}{x} )}^{n} = \sqrt{ \frac{1}{x} } \\ \\ \: \Leftrightarrow {( \frac{1}{x} )}^{n} = {( \frac{1}{x} )}^{ \frac{1}{2} } \\ \\ \: \Rightarrow \huge{\boxed{\boxed{n = \frac{1}{2}}}}$

Logo:

$\huge{\boxed{\boxed{{\log_{ \frac{1}{x} }( \frac{1}{y} ) = \frac{1}{2}}}}}$

2)

$\log_{ {y}^{2} }(x) = n$

Substituindo y por seu valor, obtemos:

$\log_{({ \sqrt{x})}^{2} }(x) = n \Leftrightarrow \log_{x}(x) = n \\ \\ \: \Rightarrow {x}^{n} = x \\ \\ \: \Rightarrow \huge{\boxed{\boxed{n = 1}}}$

Logo:

$\huge{\boxed{\boxed{\log_{ {y}^{2} }(x) = 1}}}$

Espero ter ajudado.