Question

Sejam X e Y os seguintes subconjuntos de IR x IR :

X = { ( x , y ) | y = x - x² ≥ 0 } e
Y = { ( x , y ) | y = x² - x ≤ 0 }

Se S representa a área da região R = X U Y , determine uma estimativa adequada para S.

Answer 1

Olá Ludeen!
 
 Quanto ao subconjunto X temos que:

$\\ \mathsf{x - x^2 \geq 0 \\\\ \mathsf{- x \cdot (x - 1) \geq 0} \\\\ \mathsf{S_1 = \left \{ x \in \mathbb{R} \, | \, 0 \leq x \leq 1 \right \}}}$

 Já que $\mathsf{y \geq 0}$, temos um valor máximo. Calculando-o...

$\mathsf{- \frac{\Delta}{4a} = - \frac{1 + 0}{- 4} = \frac{1}{4}}$

 Portanto, $\mathsf{0 \leq y \leq \dfrac{1}{4}}$.


 Quanto ao subconjunto Y, temos:

$\mathsf{x^2 - x \leq 0} \\\\ \mathsf{x \cdot (x - 1) \leq 0} \\\\ \mathsf{S_2 = \left \{ x \in \mathbb{R} \, | \, 0 \leq x \leq 1 \right \}}$

 Mas, $\mathsf{y \leq 0}$, daí a função possui um valor mínimo...

$\mathsf{- \frac{\Delta}{4a} =-\frac{1-0}{4}=-\frac{1}{4}}$

 Com isso, $\mathsf{- \dfrac{1}{4} \leq y \leq 0}$.


 Bom! até aqui aplicamos alguns conceitos envolvendo função quadrática e inequações. As informações obtidas já seriam suficientes se pudéssemos aplicar o "Cálculo", mas não podemos! Então, podemos traçar uma recta passando pela origem e pelo vértice de uma das parábolas.

 Note que obtemos um triângulo retângulo num dos quadrantes (formados pelo eixo Ox e pelo eixo de simetria x_v). Desse modo, podemos obter uma área estimada...

$\\ \mathsf{A_1 = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}}{2}} \\\\ \mathsf{A_1 = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{A_1 = \frac{1}{16}}}$      

 Ludeen, observe que a área estimada (recta) é menor que a área real (parábola)!

 Enfim, devemos estimar a área total e fazemos isto multiplicando A_1 por 4, afinal, são quatro quadrantes!!

$\\ \mathsf{S_t \approx A_1 + A_2 + A_3 + A_4} \\\\ \mathsf{S_t \approx 4 \cdot A_1} \\\\ \mathsf{S_t \approx 4 \cdot \frac{1}{16}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S_t \approx \frac{1}{4}}}}$ 

 Mas, como já fora dito, a área estimada é menor que a área real. Daí, a área real poderá ser 1/3, 1/2, 1,... dentre outros valores.

 Por conseguinte, note que o único intervalo que compreende tais valores (possíveis) é o da opção "d)".

Answer 2

Resposta:

Resposta D

Explicação passo-a-passo

Imagem