Sejam x e y números reais, tais que 2x + 3y =10. O valor mínimo da expressão x^2+ y^2 está corretamente indicado na seguinte alternativa:
a)200/13
b)200/9
C)100/13
d)100/9
Soluções para a tarefa
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1
2x+3y=10
Isolando x:
2x=10-3y
x=(10-3y)/2
x^2+y^2
Substituindo x:
((10-3y)/2)^2+y^2
(100-60y+9y^2)/4 +y^2
Após o cálculo do mmc (que é 4):
100-60y+9y^2+4y^2
13y^2-60y+100=0
Temos uma equação do segundo grau,portanto (por isso que eu igualei a zero).O valor mínimo será o Y do vértice e será calculado assim:
-delta/4a
Calculando delta:
Delta=3600-5200=-1600
Calculando o valor mínimo :
-(-1600)/(4*13)=1600/(4*13)=400/13
Porém,este valor n é o correto, já que após achar a equação de segundo grau,desprezamos o mmc.Logo,temos que dividir este valor por 4:
400/13/4=(400/13)*1/4=100/13
Vamos também conferir o valor mínimo se isolarmos o y ao invés do x:
2x+3y=10
3y=10-2x
y=(10-2x)/3
Substituindo y:
x^2+y^2
x^2+((10-2x)/3)^2
x^2+(100-40x+4x^2)/9
Após o cálculo do mmc (que é 9):
9x^2+100-40x+4x^2
13x^2-40x+100=0
Delta=1600-5200=-3600
Calculando o valor mínimo :
-(-3600)/(4*13)=3600/(4*13)=900/13
E como o mmc desta vez foi 9,então dividiremos este valor por 9:
900/13/9=(900/13)*1/9=100/13
Em ambos os casos,o resultado foi o mesmo.Daí, 100/13 é o valor mínimo.
*=vezes
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