Question

Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = π/2. Sabendo-se que sen(x - y) = 1/3, o valor de tg²y - tg²x é igual a

a) 3/2
b) 5/4
c) 1/2
d) 1/4
e) 1/8

Answer 1

Bom dia, 

A alternativa correta é a letra A. Pois x+y=π, que são complementares, logo sen y = cos x e cos y = sen x.

Dessa forma, sen (y – x) =$\frac{1}{3}$
sen y . cos x – cos y . sen x = $\frac{1}{3}$
Portanto, $cos^{2}x - sen^{2} = \frac{1}{3}$

$\left \{ {{ sen^{2}x+ cos^{2}x=1 } \atop { cos^{2}x- sen^{2}x= \frac{1}{3} }} \right.$
$\left \{ {{sen^{2}x = \frac{1}{3} } \atop { cos^{2}x= \frac{2}{3} }} \right.$

$tg^{2}x= \frac{ sen^{2}x }{ cos^{2}x}= \frac{1}{2}$
Assim, $cotg^{2}x=2$

$tg^{2}y - tg^{2}x = cotg^{2}x - tg^{2}x = 2 - \frac{1}{2}= \frac{3}{2}$

Answer 2

O valor de tg²(y) - tg²(x) é igual a 3/2.

Temos a informação de que x + y = π/2, ou seja, x e y são complementares.

Sendo assim, é verdade que sen(x) = cos(y) e sen(y) = cos(x).

O seno da diferença é definido por:

• sen(a - b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a).

Como sen(x - y) = 1/3, então temos que:

1/3 = sen(x).cos(y) - sen(y).cos(x)

1/3 = sen(x).sen(x) - cos(x).cos(x)

1/3 = sen²(x) - cos²(x).

A relação fundamental da trigonometria nos diz que:

• sen²(a) + cos²(a) = 1.

Sendo assim, podemos dizer que:

1/3 + 1 = 2sen²(x)

2sen²(x) = 4/3

sen²(x) = 2/3.

Consequentemente:

cos²(x) + 2/3 = 1

cos²(x) = 1 - 2/3

cos²(x) = 1/3.

A tangente é igual à razão entre seno e cosseno, ou seja, $tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$. Então, é verdade que:

$tg^2(x)=\frac{sen^2(x)}{cos^2(x)}$

$tg^2(x)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$

tg²(y) = 1/2.

Podemos observar que sen²(y) = 1/3 e cos²(y) = 2/3.

Logo, tg²(y) = 2.

Portanto, podemos concluir que:

tg²(y) - tg²(x) = 2 - 1/2

tg²(y) - tg²(x) =  3/2.

Exercício sobre equação trigonométrica: https://brainly.com.br/tarefa/18806244