Question

Sejam x e y números positivos. Se x, y e 20 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética (P.A.) e se os números 2, x e y formam, nessa ordem, uma progressão geométrica (P.G.), então é igual a

Answer 1

Utilizando definições de P.A. e P.G. jutamente com sistemas de equações de segundo grau, temos que x e y são respectivamente 5 e 12,5.

Explicação passo-a-passo:

Toda progressão aritimetica, tem um termo chamado de razão de tal forma que a sua soma no termo anterior resulte no proximo, ou seja, usando a razão R:

20 = y + R = x + 2R

y = x + R

Isolando R em duas equações, temos que:

R = 20 - y

R = y - x

Igualando as duas pelo R:

20 - y = y - x

2y - x = 20

Agora vamos guardar esta equação acima e ir para a proxima etapa.

Toda progressão geometrica tem um termo de razão também, porém que multiplica no termo anterior e resulta no proximo, ou seja, pegando a razão Q, temos que:

y = 2 . Q² = x . Q

x = 2 . Q

Isolando o Q em duas equações, temos que:

Q = y / x

Q = x/2

Igualando pelo Q:

y/x = x/2

2y = x²

Agora temos duas equações que só dependem de x e y:

20 = 2y - x

2y = x²

Substituind oo 2y da de baixo no 2y da de cima, temos que:

20 = x² - x

Ou ajeitando temos que:

x² - x - 20 = 0

Esta bé uma equação de segundo grau, que resolvendo por Bhaskara temos as duas raízes: x1 = -4 e x2 = 5.

Como o enunciado diz que x e y são positivos, então temos que x é igual a 5. Com isso podemos encontrar y:

2y = x²

2y = 5²

2y = 25

y = 12,5

Assim temos que x e y são respectivamente 5 e 12,5.