Question

Sejam x e y números irracionais tais que (2251 - x)³ + (x +y - 2250)³ = (y + 1)³. Determine o maior inteiro positivo n tal que n² é menor ou igual a x + y.

Answer 1

Sendo (2251 - x)³ + (x + y - 2250)³ = (y + 1)³, vamos considerar que:

a = 2251 - x

b = x + y - 2250.

De a = 2251 - x podemos dizer que x = 2251 - a. Assim,

b = 2251 - a + y - 2250

b = 1 - a + y

y = a + b - 1.

Daí, temos que:

a³ + (2251 - a + a + b - 1 - 2250)³ = (b + a - 1 + 1)³

a³ + b³ = (a + b)³

a³ + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

3a²b + 3ab² = 0

Colocando 3ab em evidência:

3ab(a + b) = 0

a = -b.

Assim, podemos concluir que:

y = b - b - 1

y = -1

e

(2251 - x)³ + (x - 2251)³ = 0, ou seja, x = 2251.

Queremos que n² ≤ x + y. Então:

n² ≤ 2251 - 1

n² ≤ 2250

n ≤ 47,4341649...

Portanto, podemos concluir que o maior inteiro positivo n é 47.