Matemática, perguntado por jilocomalgodaodoce, 8 meses atrás

Sejam x e y dois números reais. Sendo x = 2,333… e y = 0,313131…, dízimas periódicas. A soma das frações geratrizes de x e y é:

A ) 2,66666....
B ) 2,434343....
C ) 2,353535....
D ) 2,565656....

Soluções para a tarefa

Respondido por estudante45741
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Olá.

Reposta: 262/99 = 2,646464...

Fração geratriz é uma razão( ex: n/d) que quando dividimos seu numerador (n) pelo seu denominador (d) dá uma dízima periódica.

1°) Encontrar as frações geratrizes.

X = 2,3333... Nesse caso, o 3 se repete infinitamente.

x = 2,333.... (multiplicar ambos os termos dessa equação por um mesmo número: 10, 100, 1000, etc, obtendo uma equivalente, e que, para facilitar nossos cálculos, tenha a mesma repetição do valor original de x: 2,3333, nesse caso, 3).

Obs: números como 10, 100, 1000, etc, facilitam os cálculos, pois assim é necessário apenas mudar a vírgula de lugar, nesse caso, como estarão multiplicando, passá-la para casas à direita de acordo com o número de zeros.

Vou multiplicar por 10.

x = 2,3333...

10x = 23,3333... Repare que o 3 vai se repetir infinitamente em ambas.

Vamos agora fazer uma subtração das duas.

10x = 23,3333...

-

x = 2,3333...

---------------------------

9x = 21.

(10x - x) (as repetições dos ,3333 vão se cancelar, ficando 23 - 2 = 21).

9x = 21 (temos o valor de 9x, mas queremos de um x, então passamos o 9 para o outro lado dividindo).

x = 21/9.

Agora é fazer o mesmo para o y.

y = 0,313131...

10y = 3,131313... (opa, não deu certo, repare: o primeiro repete o 31, o segundo, o 13).

Assim devemos multiplicar mais uma vez por 10:

100 y = 31, 313131...

Agora podemos fazer a subtração das duas com a mesma repetição:

100 y = 31,313131...

-

y = 0,313131...

----------------------------

99y = 31

(100y - y) (as repetições 313131... vão se cancelar, ficando: 31 - 0 = 31).

Temos o valor de 99y, mas queremos de apenas um, então vamos passar o 99 dividindo.

y = 31/99.

2°) Como a questão pede, devemos agora somar as frações geratrizes encontradas).

X = 21/9

y = 31/99

Para isso, calcularemos o mmc (menor múltiplo comum entre os denominadores).

mmc entre 9 e 99 = 99, pois (fazendo a fatoração):

9 , 99 | 3

3 , 33 | 3

1 , 11 | 11

1, 1

Multiplicando os valores encontrados à direita: 3*3*11 = 99.

21/9 --> 99 dividido por 9 = 11, multiplicado por 21 = 231.

31/ 99 --> 99 dividido por 99 = 1, multiplicado por 31 = 31.

231/99 + 31/99 (conservamos o denominador e somamos apenas os numeradores) --> 262/99, ou então, dividindo 262 por 99 = 2,646464... (repetição infinita do 64).

Espero ter ajudado.

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