Sejam x e y dois números reais. Sendo x = 2,333… e y = 0,313131…, dízimas periódicas. A soma das frações geratrizes de x e y é:
A ) 2,66666....
B ) 2,434343....
C ) 2,353535....
D ) 2,565656....
Soluções para a tarefa
Olá.
Reposta: 262/99 = 2,646464...
Fração geratriz é uma razão( ex: n/d) que quando dividimos seu numerador (n) pelo seu denominador (d) dá uma dízima periódica.
1°) Encontrar as frações geratrizes.
X = 2,3333... Nesse caso, o 3 se repete infinitamente.
x = 2,333.... (multiplicar ambos os termos dessa equação por um mesmo número: 10, 100, 1000, etc, obtendo uma equivalente, e que, para facilitar nossos cálculos, tenha a mesma repetição do valor original de x: 2,3333, nesse caso, 3).
Obs: números como 10, 100, 1000, etc, facilitam os cálculos, pois assim é necessário apenas mudar a vírgula de lugar, nesse caso, como estarão multiplicando, passá-la para casas à direita de acordo com o número de zeros.
Vou multiplicar por 10.
x = 2,3333...
10x = 23,3333... Repare que o 3 vai se repetir infinitamente em ambas.
Vamos agora fazer uma subtração das duas.
10x = 23,3333...
-
x = 2,3333...
---------------------------
9x = 21.
(10x - x) (as repetições dos ,3333 vão se cancelar, ficando 23 - 2 = 21).
9x = 21 (temos o valor de 9x, mas queremos de um x, então passamos o 9 para o outro lado dividindo).
x = 21/9.
Agora é fazer o mesmo para o y.
y = 0,313131...
10y = 3,131313... (opa, não deu certo, repare: o primeiro repete o 31, o segundo, o 13).
Assim devemos multiplicar mais uma vez por 10:
100 y = 31, 313131...
Agora podemos fazer a subtração das duas com a mesma repetição:
100 y = 31,313131...
-
y = 0,313131...
----------------------------
99y = 31
(100y - y) (as repetições 313131... vão se cancelar, ficando: 31 - 0 = 31).
Temos o valor de 99y, mas queremos de apenas um, então vamos passar o 99 dividindo.
y = 31/99.
2°) Como a questão pede, devemos agora somar as frações geratrizes encontradas).
X = 21/9
y = 31/99
Para isso, calcularemos o mmc (menor múltiplo comum entre os denominadores).
mmc entre 9 e 99 = 99, pois (fazendo a fatoração):
9 , 99 | 3
3 , 33 | 3
1 , 11 | 11
1, 1
Multiplicando os valores encontrados à direita: 3*3*11 = 99.
21/9 --> 99 dividido por 9 = 11, multiplicado por 21 = 231.
31/ 99 --> 99 dividido por 99 = 1, multiplicado por 31 = 31.
231/99 + 31/99 (conservamos o denominador e somamos apenas os numeradores) --> 262/99, ou então, dividindo 262 por 99 = 2,646464... (repetição infinita do 64).
Espero ter ajudado.