Sejam X,A e B conjuntos com as seguinte propriedades:
a ) X ⊆ A e X ⊆ B
b ) Se Y é um conjunto tal que Y ⊆ A e Y ⊆ B, então Y ⊆ X.
Provar que X = A ∩ B.
Soluções para a tarefa
Definição (igualdade entre conjuntos): Dois conjuntos P e Q são iguais se e somente se P é subconjunto de Q e Q é subconjunto de P. Em notação matemática,
P = Q ⟺ P ⊆ Q e Q ⊆ P.
São dados os conjuntos X, A e B com as propriedades seguintes:
a) X ⊆ A e X ⊆ B;
b) Se Y é um conjunto tal que Y ⊆ A e Y ⊆ B, então Y ⊆ X.
Consequência da propriedade a):
Ora, se X ⊆ A e X ⊆ B, isto significa que todo elemento de X é elemento de A e também é elemento de B.
Logo, X ⊆ A ∩ B. (i)
Sabemos que
A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B
Seja Y = A ∩ B. Como Y satisfaz as condições da propriedade b), então
Y ⊆ X
A ∩ B ⊆ X (ii)
Por (i) e (ii), aplicando a definição de igualdade entre conjuntos, concluímos que
X = A ∩ B
como queríamos demonstrar.
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Bons estudos! :-)