Question

Sejam (x)= 2x+K , g(x)= x²+Kx e h(x)= f(g(x)). Determine K para que h(x) tenha apenas uma raíz no conjunto dos reais e existam valores de x tal que f(x) > h (x)

a)1 e 2

b)2

c)0 *

d)1

e)0 e 2

Answer 1

Resposta: letra (e): 0 e 2

Explicação passo-a-passo:

Acredito que essa questão esteja com o gabarito incorreto. Vejamos:

Obs.: onde eu colocar x^2 significa que o “x” está elevado ao quadrado.

Pelo enunciado, h(x) = f(g(x)) = 2(x^2 + kx) + k = 2x2 + 2kx + k. Para que h(x) tenha apenas 1 raiz no conjunto dos reais, o delta da equação de 2 grau tem que ser igual a zero. Com isso,

delta = 0 <-> (2k)2 - 4.(2).k = 0 <-> k(k-2) = 0 <-> implica dizer que k = 0 ou k = 2.

Resolvendo a segunda parte, ie, f(x) > h(x), tem-se

2x + k > 2x^2 + 2kx + k

0 > 2x^2 + 2x(k - 1)

Para que existam x reais, delta tem que ser maior ou igual a zero. Com isso,

4(k-1)^2 - 4.2.0 >= 0 <-> (k - 1)^2 >= 0

Para a equação acima, o k pode ser tanto 0 quanto 2 que a expressão é  verdadeira.

Logo, gabarito, k = 0 ou k = 2

Considerações finais: caso o enunciado dissesse que g(x) > h(x), então

x^2 + kx > 2x^2 + 2kx + k

0 > x^2 + kx + k

delta tem que ser maior ou igual a zero para que existam x reais

k^2 - 4k >= 0 <-> raízes são 0 e 4 e para que a equação seja verdadeira, k tem que ser menor ou igual a 0 ou maior ou igual a 4

A partir da primeira explicação lá em cima, k = 0 ou k = 2, e a partir dessa última explicação, k tem que ser igual a 0 ou menor ou igual a 4 ou maior. Fazendo a interseção entre ambas as soluções, encontra-se k = 0.