Question

Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação á adição e à multiplicação por escalar definidas em V.


Diante desse contexto verificar se o subconjunto representado por S = {(x,y)/x + 3y = 0}, em relação ao R2 é  um subespaço vetorial.

Answer 1

Olá, Erisson.

Propriedades de um subespaço vetorial S qualquer:
1) O vetor nulo pertence a S, ou seja, (0, ..., 0) ∈ S.
2) Se u ∈ S e v ∈ S, então u + v ∈ S.
3) Se u ∈ S e α ∈ R, então αu ∈ S.

Analisemos o caso presente: S = {(x,y) ∈ R² | x + 3y = 0}.

1) (x,y) = (0,0) ∈ S, pois 0 + 3·0 = 0 + 0 = 0. Propriedade 1 satisfeita.

2) Sejam dois vetores (x,y) ∈ S e (z,w) ∈ S. Como pertencem a S, então temos que x + 3y = 0 e z + 3w = 0 ⇒ x + 3y + z + 3w = 0 ⇒ (x + z) + 3(y + w) = 0 ⇒ (x + z, y + w) ∈ S ⇒ (x,y) + (z,w) ∈ S. Propriedade 2 satisfeita.

3) Seja o vetor (x,y) ∈ S. Como pertence a S, então temos que x + 3y = 0 ⇒ α(x +3y) = α·0 ⇒ αx + 3αy = 0 ⇒ (αx, αy) ∈ S ⇒ α(x,y) ∈ S. Propriedade 3 satisfeita.

Portanto, S é um subespaço vetorial.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

1) (x,y) = (0,0) ∈ S, pois 0 + 3·0 = 0 + 0 = 0. Propriedade 1 satisfeita.