Question

Sejam v = 4i, w = 2i + 5j e u = 3i + 3j + 4k, calcule o volume do paralelepípedo com um vértice na origem e as arestas determinadas v, w e u (nessa ordem).

Answer 1

O volume do paralelepípedo é de 80.

Para calcularmos o volume do paralelepípedo em questão devemos aplicar o conceito de volume misto. Dessa forma, esse volume será:

$V = |v.(wXu)|$

, onde wxu é o produto vetorial entre w e u. E v.(wXu) é o produto escalar entre v e wXu. Isso faz sentido, quando lembramos que o volume de um paralelepípedo regular é dado pela área da base multiplicada pela altura do sólido.

Contudo, existe um macete que facilita bastante os cálculos. Vamos montar a matriz e calcular seu determinante, a partir dos 3 vetores v,w e u:

$\left[\begin{array}{ccc}v\\w\\u\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\2&5&0\\3&3&4\end{array}\right]$

Seu determinante será:

$det(\left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\2&5&0\\3&3&4\end{array}\right]) = 80 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 80$

Portanto o volume será:

V = |80| = 80

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