Question

Sejam ~u = (x, −1, 2) e ~v = (1, 0, −1), encontre o valor de x para que a) ~u e ~v sejam ortogonais. b) o ângulo entre ~u e ~v seja π 3 .

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) Para que vetores sejam ortogonais, o produto vetorial entre eles deve ser igual a 0.

u.v = 0

(x,-1,2).(1,0,-1) = 0

x.1 + (-1).0 + 2.(-1) = 0

x - 2 = 0

x = 2

b) Utilizaremos dessa vez a fórmula do ângulo entre dois vetores:

u.v = cos(a).||u||.||v||

Como calculado acima, temos o valor de u.v (x-2) e o cosseno de (pi/3 = 60°) = 1/2. Também sabemos o módulo de u e de v, pela fórmula:

$||u|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Assim, encontrando ||u|| e ||v|| e logo após substituindo todos os valores, temos:

$||u|| = \sqrt{x^2+1+4}= \sqrt{x^2+5}\\\\ ||v||= \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

Substituindo:

$x - 2 = \frac{1}{2} .\sqrt{x^2+5} .\sqrt{2} \\\\ (x-2).2=\sqrt{2.(x^2+5)} \\\\ 2x-4 = \sqrt{2x^2+10}\\\\ (2x-4)^2=2x^2+10 \\\\4x^2-16x+16=2x^2+10 \\\\ 2x^2-16x+6=0 \\\\ x^2-8x+3=0$

Assim, os possíveis valores de x são:

$x' = 4 + \sqrt{13}~~ou~~ x''=4-\sqrt{13}$

Para que o ângulo seja de 60° entre os vetores.