Question

Sejam u, v e w vetores não nulos, Pede-se:

(a) Mostrar que se u é ortogonal a v e w, então u também é ortogonal a v + w.
(b) Mostrar que se u + v é ortogonal a u - v então |u| = |v|.
(c) Calcular |u + v|, sabendo que u e v são vetores unitários e ortogonais.
(d) Considere o númeroreal x =u.v/v.v. Mostre que o vetor z = u - xv é ortogonal ao vetor v.

Answer 1

a)
Se u é ortogonal a v,
u.v = 0
Se u é ortogonal a w,
u.w = 0

u.(v+w) = u.v + u.w = 0
Logo, como u.(v+w) = 0
u é ortogonal a (v+w).

b)
Se (u+v) é ortogonal a (u-v)
(u+v).(u-v) = 0
u.u - u.v + u.v - v.v = 0
|u|² - |v|² = 0
|u|² = |v|²
Como módulo assume apenas valores positivos ou é zero,
|u| = |v|

c)
Como u e v são vetores unitários e ortogonais,
|u| = 1
|v| = 1
u.v = 0
Fazendo (u+v).(u+v),
(u+v).(u+v) = |u+v|² = u.u + 2 (u.v) + v.v
|u+v|² = 2
Como módulo assume apenas valores positivos ou é zero,
|u+v| = √2

d)
Fazendo z.v,
(u-xv).v = u.v - x (v.v) = u.v - $\displaystyle\frac{(u.v)(v.v)}{v.v}$
(u-xv).v = u.v - u.v = 0
Com isso, conclui-se que, como z.v = 0, então z e v são ortogonais.