Question

Sejam u, v e w vetores do R3. Sabe-se que u + v + w = 0, |v| = 1/2, |u| = 2/2 e |w| = 2. Assinale a opção que apresenta o valor de u . v + v . w + u . w a) 7/3 b) -13/3 c) -7/16 d) 5/8 e) 4/7

Answer 1

Resposta:

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Answer 2

O valor da operação entre os produtos escalares dos vetores é -21/8.

Como se achar a operação entre os produtos escalares?

Podemos começar extraindo fator comum de v nos primeiros dois termos para simplificar a expressão:

v(u+w)+u.w

u+v+w=0=>u+w=-v=>v(-v)+u.w=-v.v+u.w

Para achar o produto escalar entre u e w necessitamos o ângulo entre esses dois vetores, como u+v+w=0 tem-se u+w=-v, então, aplicando o teorema do cosseno tem-se:

$|v|=\sqrt{|u|^2+|w|^2-2.|u|.|w|.cos(\theta)}\\\\|v|^2=|u|^2+|w|^2-2.|u|.|w|.cos(\theta)\\\\cos(\theta)=\frac{|v|^2-|u|^2-|w|^2}{-2|u|.|w|}$

Além disso, temos $-v.v=-|v|^2$, substituindo estas identidades na expressão anterior temos o seguinte:

$u.v+v.w+u.w=-|v^2|+|u|.|w|.cos(\theta)\\\\u.v+v.w+u.w=-|v^2|+|u|.|w|.\frac{|v|^2-|u|^2-|w|^2}{2|u|.|w|}\\\\u.v+v.w+u.w=-|v^2|+\frac{|v|^2-|u|^2-|w|^2}{2}$

Como temos os módulos destes vetores podemos substituir eles nesta expressão para calcular o valor da expressão apresentada:

$u.v+v.w+u.w=-(\frac{1}{2})^2+\frac{(\frac{1}{2})^2-1^2-2^2}{2}\\\\u.v+v.w+u.w=-\frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{4}-1-4}{2}=-\frac{1}{4}-\frac{19}{8}=-\frac{21}{8}$

Saiba mais sobre o produto escalar em https://brainly.com.br/tarefa/20606986

#SPJ2