Question

Sejam u=(1,0,1) e v=(-2,1,1). Encontre, se possível, um vetor não nulo w que satisfaz as condições abaixo. (a) w é ortogonal a u; w é ortogonal a v; w tem comprimento 11; o ângulo entre w e i=(1,0,0) é agudo. (b) o comprimento de w x u é √2; w é paralelo a v.

Answer 1

a)
u=(1,0,1)
v=(-2,1,1)
w=(x,y,z)

Se w é ortogonal a u
w.u=0
x+z=0
x=-z (I)

Se w é ortogonal a v
w.v=0
-2x+y+z=0
Mas x=-z (I)
3z+y=0 (II)

O módulo de w é igual a 11
|w|=$\displaystyl\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$=11
x²+y²+z²=121
Mas x²=z² (I)

y²+2z²=121
y²=9z² (II)
11z²=121

z=±√11
Substituindo em (II)
y=-(±3√11)
Substituindo em (I)
x=-(±√11)

Como o ângulo entre (1,0,0) e w é agudo
w.i>0
(x,y,z).(1,0,0)>0
x>0

x=+√11
z=-√11
y=-3√11

w=(√11,-3√11,-√11)

b)
u=(1,0,1)
v=(-2,1,1)
w=(x,y,z)
Como w//v
w x v=0
(x,y,z) x (-2,1,1) = 0
2x - y - z = 0 (I)

Como w//v
w.v=|w| |v|
(x,y,z).(-2,1,1)=|w| |v|
-2x + y + z = |w| |v|
Mas -2x + y + z = 0 (I)
Entao |v| ou |w| é igual a 0
Como |v| ≠ 0
Então seria w = (0,0,0)

Mas como w x u = √2
Então o vetor w que satisfaça tais condições não existe.