Question

Sejam $I=(a,b)$ um intervalo aberto e $d=b-a$ o diâmetro do intervalo, prove que $c= \frac{a+b}{2}$ e $r= \frac{d}{2} = \frac{b-a}{2}$ são, respectivamente, o centro e o raio do intervalo $I$.

Answer 1

$I=\left(a,\;b \right )=\left(c-r,\;c+r)~~~~~~\mathbf{(i)}$

Sendo $c$ o centro do intervalo $I$

e $r$ o raio do intervalo.

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Mostrando que $c=\dfrac{a+b}{2}.$

O centro do intervalo é o ponto $c\in I,\;$ tal que a distância de $c$ até as duas extremidades do intervalo sejam iguais:

$|c-a|=|c-b|$

Como $a<c<b,$ devemos ter

$c-a=b-c\\ \\ c+c=a+b\\ \\ 2c=a+b\\ \\ \therefore~\boxed{\begin{array}{c} c=\dfrac{a+b}{2} \end{array}}$
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O raio $r$ do intervalo é justamente a distância do centro até qualquer uma das extremidades:

$r=c-a=b-c\\ \\ \\ r=c-a\\ \\ r=\dfrac{a+b}{2}-a\\ \\ \\ r=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2a}{2}\\ \\ \\ r=\dfrac{a+b-2a}{2}\\ \\ \\ \therefore~\boxed{\begin{array}{c} r=\dfrac{b-a}{2} \end{array}}$