Question

Sejam $a=2 ^{x} . 3^{3} . 10$ e $b=2^{4} . 3^{y} . 30$ números naturais com $mdc(a,b) = 720$. Então o valor de $x+y$ é igual a:
(A)$3$
(B)$4$
(C)$5$
(D)$6$
(E)$7$

Answer 1

Olá, Victor.

A decomposição em fatores primos do número 720 é dada por:

$720|2\\ 360|2\\ 180|2\\ 90|2\\ 45|3\\ 15|3\\ 5|5\\ 1$

Ou seja: 

$720=2^4\cdot3^2\cdot5$

Por outro lado, temos que:

$a=2 ^{x} \cdot 3^{3} \cdot 10= 2 ^{x} \cdot 3^{3} \cdot 2\cdot5=2^{x+1}\cdot3^3\cdot5\\\\ b=2^{4} \cdot 3^{y} \cdot 30=2^{4} \cdot 3^{y} \cdot 2\cdot3\cdot5=2^5\cdot3^{y+1}\cdot5$

O MDC (máximo divisor comum) de dois números quaisquer é o produto dos fatores comuns entre eles com menor expoente.

Como MDC(a,b) = 720 e $720=2^4\cdot3^2\cdot5,$ temos que: 

$\begin{cases}x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3\\y+1=2\Rightarrow\,y=1\end{cases}$

Portanto: $x+y=3+1=4$

Resposta: letra "B".