Question

Sejam r e s as retas tangentes à circunferência de equação x2 + y2 = 25, nos pontos A(3, 4) e b(5, 0), respectivamente. Sabendo-se que P é o ponto de intersecção dessas retas, determine a área do triângulo ABP

Answer 1

Resposta:

A = 5/2

Explicação passo a passo:

x² + y² = 25

Cálculo do coeficiente angular, derivando implicitamente.

2x + 2yy' = 0

x + yy' = 0

y' = -x/y

m = y'(3,4) = =3/4

Equação da reta que passa pelo pnto A

y - 4 = -3/4(x - 3)

y = -3x/4 + 9/4 + 4

y = -3x/4 + 25/4

Equação da reta que passa pelo ponto B

n = -5/0 n não existe coeficiente angular, isso significa que o ângulo é de 90°.

A equação é x = 5

Cálculo do ponto de interseção P

y = -3.5/4 + 25/4

y = -15/4 + 25/4

y = 10/4

y = 5/2

P(5, 5/2)

Cálculo da área do triângulo ABP

$A=\frac{1}{2} \left|\begin{array}{cccc}x_A&x_B&x_p&x_A\\y_A&y_B&y_P&y_A\end{array}\right|_{+}^{-}$

$A=\frac{1}{2} \left|\begin{array}{cccc}3&5&5&3\\4&0&\frac{5}{2} &4\end{array}\right|_{+}^{-}\\\\A=\frac{1}{2} |3.0+ 5.\frac{5}{2} +5.4-4.5-0.5-\frac{5}{2}.3|\\\\A=\frac{1}{2}|\frac{25}{2} +20-20-\frac{15}{2}|\\\\A=\frac{1}{2}|5|\\\\A=\frac{5}{2}$