Sejam r a reta que passa pelos pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0) e s a reta de equação x-2/1=y-2/2=z-4/3. Calcule a distancia d(r,s).
Soluções para a tarefa
A distância entre r e s é igual a 0,51.
Como r passa pelos pontos A = (1,0,0) e B = (0,2,0), então temos que o vetor AB é:
AB = (-1,2,0).
Assim, a reta r é igual a:
{x = 1 - k
{y = 2k, com k ∈ IR.
{z = 0
A reta s é definida por . Igualando as igualdades ao parâmetro t, encontramos as seguintes equações paramétricas:
{x = 2 + t
{y = 2 + 2t, t ∈ IR.
{z = 4 + 3t
Vamos chamar de u = (-1,2,0) o vetor direção de r e v = (1,2,3) o vetor direção de s.
Perceba que u e v são LI. Então, r e s são reversas ou concorrentes.
Igualando as duas equações:
{2 + t = 1 - k
{2 + 2t = 2k
{4 + 3t = 0
Da segunda e terceira equação obtemos t = -4/3 e k = -1/3. Porém, ao substituirmos na primeira equação, chegamos a conclusão de que:
2/3 = 4/3
o que não é verdade.
Logo, as retas são reversas.
Considere que A' = (1 - k, 2k,0) ∈ r e B' = (2+t,2+2t,4+3t) ∈ s.
Temos que o vetor A'B' = (2 + t - 1 + k, 2 + 2t - 2k, 4 + 3t) = (t + k + 1, 2t - 2k + 2, 4 + 3t) é perpendicular a u e a v, ou seja,
<A'B', u> = 0 e <A'B',v> = 0.
<A'B',u> 0
(t + k + 1).(-1) + (2t - 2k + 2).2 = 0
-t - k - 1 + 4t - 4k + 4 = 0
3t - 5k + 3 = 0
3t - 5k = -3.
<A'B',v> = 0
(t + k + 1).1 + (2t - 2k + 2).2 + (4 + 3t).3 = 0
t + k + 1 + 4t - 4k + 4 + 12 + 9t = 0
14t - 3k = -17.
Assim, temos que t = -76/61 e k = -9/61. Logo, A' = (70/61, -18/61,0) e B' = (46/61,-30/61,16/61).
Calculando a distância entre A' e B' encontramos, aproximadamente, 0,51. Ou seja, a distância entre as retas é igual a 0,51.