Matemática, perguntado por costaelizabeth6, 11 meses atrás

Sejam r a reta que passa pelos pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0) e s a reta de equação x-2/1=y-2/2=z-4/3. Calcule a distancia d(r,s).

Soluções para a tarefa

Respondido por silvageeh
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A distância entre r e s é igual a 0,51.

Como r passa pelos pontos A = (1,0,0) e B = (0,2,0), então temos que o vetor AB é:

AB = (-1,2,0).

Assim, a reta r é igual a:

{x = 1 - k

{y = 2k, com k ∈ IR.

{z = 0

A reta s é definida por \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{3}. Igualando as igualdades ao parâmetro t, encontramos as seguintes equações paramétricas:

{x = 2 + t

{y = 2 + 2t, t ∈ IR.

{z = 4 + 3t

Vamos chamar de u = (-1,2,0) o vetor direção de r e v = (1,2,3) o vetor direção de s.

Perceba que u e v são LI. Então, r e s são reversas ou concorrentes.

Igualando as duas equações:

{2 + t = 1 - k

{2 + 2t = 2k

{4 + 3t = 0

Da segunda e terceira equação obtemos t = -4/3 e k = -1/3. Porém, ao substituirmos na primeira equação, chegamos a conclusão de que:

2/3 = 4/3

o que não é verdade.

Logo, as retas são reversas.

Considere que A' = (1 - k, 2k,0) ∈ r e B' = (2+t,2+2t,4+3t) ∈ s.

Temos que o vetor A'B' = (2 + t - 1 + k, 2 + 2t - 2k, 4 + 3t) = (t + k + 1, 2t - 2k + 2, 4 + 3t) é perpendicular a u e a v, ou seja,

<A'B', u> = 0 e <A'B',v> = 0.

<A'B',u> 0

(t + k + 1).(-1) + (2t - 2k + 2).2 = 0

-t - k - 1 + 4t - 4k + 4 = 0

3t - 5k + 3 = 0

3t - 5k = -3.

<A'B',v> = 0

(t + k + 1).1 + (2t - 2k + 2).2 + (4 + 3t).3 = 0

t + k + 1 + 4t - 4k + 4 + 12 + 9t = 0

14t - 3k = -17.

Assim, temos que t = -76/61 e k = -9/61. Logo, A' = (70/61, -18/61,0) e B' = (46/61,-30/61,16/61).  

Calculando a distância entre A' e B' encontramos, aproximadamente, 0,51. Ou seja, a distância entre as retas é igual a 0,51.

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