Question

Sejam r a reta de equação y= x + 2 e C a circunferência de equação x²+y²- 4x - 2y + a =0, em que a é uma constante real . Determine o maior valor de a de modo que ocorra interseção entre r e C. Eu sei que a reta é secante , mas eu não estou conseguindo encontrar o valor do a ; alguém me ajuda por favor ?
Gabarito : $\frac{1}{2}$

Answer 1

A reta não é necessariamente secante à circunferência, basta ser tangente para que ocorra interseção entre r e C.

Para que a reta seja exterior ( NÃO toque a circunferência ), o valor de ∆ deve ser menor que zero, então vamos calcular a de modo que saberemos o valor máximo dele para que não haja interseção.

Resolução:

$\begin{cases} y = {\color{Red}x+2} \\ x^2 + y^2 -4x + 2y + a = 0 \end{cases}$

Substituindo o valor de y na segunda equação:

$x^2 + ({\color{Red}x+2})^2 -4x - 2({\color{Red}x+2}) + a = 0 \\\\ x^2 + x^2 + 4x + 4 - 4x -2x -4 + a = 0 \\\\ 2x^2 -2x +a = 0$

Como dito anteriormente, vamos calcular ∆ de modo que este seja menor ou igual a zero:

*Obs: igual pois como eu disse, a reta pode ser tangente também:

$\Delta \le 0 \\\\ b^2 - 4ac \le 0 \\\\ (-2)^2 - 4 \times 2 \times a \le 0 \\\\ 4 - 8a \le 0 \\\\ 8a \le 4 \\\\ a \le {1 \over 2}$

Ou seja, a tem que ser menor ou igual a 1/2, pois se for maior, a reta será exterior e não haverá interseção entre a reta e a circunferência.

Valor máximo de a é ${1 \over 2}$