Question

Sejam os vetores u = (3, m, -2), v = (1, -1, 0) e w = (2, -1, 2), qual deve ser o valor de m para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w seja 16 u. v.


m = - 12 ou m = -4

m = 12

m = - 12 ou m = 4

m = - 4

m = 12 ou m = 4

Answer 1

Olá

A 3ª Alternativa é a correta;    m=-12  ou  m=4


Podemos calcular o volume do paralelepípedo  através do módulo do produto misto entre 3 vetores.

Para isso, montamos uma matriz 3x3 e calculamos o determinante igualando a zero. Só que nesse caso, nós já temos o volume, 16, então, devemos montar a matriz e igualar a 16... ok? Já que queremos encontrar "M", e não o volume.



$|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|= \left[\begin{array}{ccc}3&m&-2\\1&-1&0\\2&-1&2\end{array}\right] =16 \\ \\ \\ \text{Resolve por sarrus} \\ \\ \\ \left[\begin{array}{cccc} 3 ~ ~~~~ ~~ & m~ ~~~~ ~~ & -2~ ~~~~ ~~ & 3 ~ ~~~~~~ ~~ m \\ 1~ ~~~~ ~~ & -1~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ -1 \\ 2 ~ ~~~~ ~~ & -1~ ~~~~ ~~ & 2 ~ ~~~~ ~~ & 2 ~ ~~~~ ~~ -1\\ \end{array}\right]=16$

$|(-6+0+2)~-~(2m+0+4)|=16 \\ \\ |-4-2m-4|=16 \\ \\ |-2m-8|=16 \\ \\ \\ \text{Note que ha o modulo, isso implica que teremos dois valores} \\ \\ -2m-8=16 \\ \\ -2m=16+8 \\ \\ m= \frac{24}{-2} \\ \\\boxed{ m=-12}~~~~\longleftarrow~~\text{Este e o primeiro valor de m}$

$-(-2m-8)=16 \\ \\ 2m+8=16 \\ \\ 2m=16-8 \\ \\ m= \frac{8}{2} \\ \\\boxed{ m=4}~~~\longleftarrow~ ~\text{Esta e o segundo valor de m}$



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