Question

sejam os vetores U = (3, 1, -1 ) e V = (a, 0, 2 ) calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determinado para U e V seja igual a 2√6 ???? com a fórmula ?

Answer 1

A area do paralelogramo definido por dois vetores u e v é igual ao modulo do produto vetorial entre eles: ║u x v ║

ou seja: 

            i....j....k
Det  :   3...1...-1       ⇒ ║ u x v ║ = ║(2i + (-a-6)j-ak)║ = √[(2²+(-a-6)²+(-a)²] =
            a...0...2

= √[4+a²+12a+36+a²]........sabemos que isso tem que ser igual a 2√6, portanto:

√(40+2a²+12a) = 2√6
40+2a²+12a = 4. 6  ⇒ 2a²+12a+10 = 0 

usando complemento de quadrados temos: (a+3)² = 4

temos: a+3 = +2   ou a+3 = -2

portanto: a= -1         ou a =  -5

Answer 2

O valor de a para que a área do paralelogramo seja 2√6 é -2 ou -4.

Produto vetorial

A definição do produto vetorial pode ser dada através do determinante da matriz abaixo:

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{array}\right|$

i, j, k

3, 1, -1

a, 0, 2

A área do paralelogramo formado por U e V é igual à norma do produto vetorial entre eles. Podemos calcular o produto vetorial através da regra de Sarrus no determinante acima, teremos então que:

U×V = (1·2 - 0·(-1))·i + ((-1)·a - 2·3)·j + (3·0 - a·1)·k

U×V = 2·i + (-a - 6)·j - a·k

U×V = (2, -a - 6, -a)

A norma do vetor será:

||U×V||² = (2)² + (-a - 6)² + (-a)²

(2√6)² = 4 + a² + 12a + 36 + a²

24 = 2a² + 12a + 40

2a² + 12a + 16 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são a' = -4 e a'' = -2.

Leia mais sobre produto vetorial em:

https://brainly.com.br/tarefa/18966565

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